序論：好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇初中數(shù)學(xué)逆向思維范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

例1：a為何值時(shí)，方程a/（x+1）-1/（1-x2）會(huì)產(chǎn)生增根？

分析：此題按常規(guī)思路考慮，運(yùn)算量大，不易求出a的值，如運(yùn)用逆向思維――反推發(fā)就能簡便的得出a的值。

解：若原方程有增根，則增根必須是x=1或x=-1，由增根意義可知，x=1或x=-1是原方程去分母后得到的整式X2+aX+a-2的根，當(dāng)x=1時(shí)，-2≠0，當(dāng)x=-1時(shí)，2a=1，即a=1/2，所以a=1/2時(shí)，原方程會(huì)產(chǎn)生增根。

例2：已知m≠n且m，n滿足m2-5m+2=0，n2-5n+2=0求n/m+m/n的值.

分析：解此題的常規(guī)方法就是根據(jù)解一元二次方程，分別求出題中的兩個(gè)方程中的未知數(shù)M和N的值，再把值帶入未知式。但是這樣做的工作量很大，M和N各有兩個(gè)根，需要代入計(jì)算四次。所以我們可以利用逆向思維，首先考慮未知式，對(duì)它進(jìn)行化簡，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解題，具體步驟如下

解：由題設(shè)逆用方程的根的概念，也就是說m，n是方程x2-5x+2=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=5，mn=2，所以.

例3：已知a，b，c是實(shí)數(shù)，a〉b〉c，且a+b+c=0，求證：拋物線y=aX2+bX+c開口向上。

分析：此題從正面無法下手解決問題，若運(yùn)用“反證法”，就有出人意料的效果。

證明：因?yàn)閍≠0，假設(shè)拋物線開口向下，則a〈0。又因?yàn)閍〉b〉c，所以b〈0，

c〈0，此時(shí)與a+b+c=0相矛盾。因此假設(shè)不成立，即拋物線y=aX2+bX+c開口向下。

二、幾何證明題中滲透逆向思維

例1：在四邊形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分別是AD，BC，BD，AC的中點(diǎn).

求證，MN與PQ互相垂直平分.

分析：要證明MN與PQ互相垂直平分，我們可以把構(gòu)建成MN與PQ四邊形正方形或菱形的對(duì)角線，具體方法如下：

解：連結(jié)MP，PN，NQ，MQ，M，P是AD，BD的中點(diǎn)，MP∥AB，MP=AB/2，

同理：NQ∥AB，NQ=AB/2，MP∥NQ，MP=NQ，四邊形MPNQ是平行四邊形.

同理，MQ=CD/2，又AB=CD，MP=MQ，平行四邊形MPNQ是菱形，

MN與PQ互相垂直平分.

例2：如下圖所示已知：AB、CD是圓內(nèi)非直徑的兩條弦，求證AB與CD不能互相平分

證明：假設(shè)AB與CD互相評(píng)分與M點(diǎn)，則由已知條件AB、CD均非直徑，可以判定M不是圓心，連接OA、OB、OM

因?yàn)镺A=OB，M是AB中點(diǎn)，所以O(shè)MAB

同理可證

篇（2）

在課堂教學(xué)的過程中，有許多具體的數(shù)學(xué)問題可以用雙向的思維進(jìn)行考慮，教師可以充分挖掘這些問題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生有意識(shí)的逐漸養(yǎng)成獨(dú)立運(yùn)用逆向思維考慮問題的能力.在數(shù)學(xué)課本中，運(yùn)用雙向思維的地方有很多，例如，在講解多項(xiàng)式因式分解法中的公式法之后，還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從逆向進(jìn)行分析，找出它們的聯(lián)系在哪，使學(xué)生清晰的掌握解決此類問題時(shí)的切入點(diǎn)和解題點(diǎn).

二、從基礎(chǔ)概念入手，增強(qiáng)逆向思維意識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)中有很多互逆的概念，在講授這些互逆概念時(shí)，可以采用先講解正向、然后逆向、最后正逆向進(jìn)行聯(lián)系比較的授課方式，深刻發(fā)掘互逆的因素，將學(xué)生長期形成的定式思維打破，樹立逆向思維的意識(shí)，這樣可以有效的加深學(xué)生對(duì)概念的辨析程度，更加透徹的理解概念，還能逐漸形成進(jìn)行雙向思考的良好習(xí)慣.

三、在教學(xué)公式法則時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的逆用能力

數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，存在著很多的具有雙向性的公式、定理或者法則，雖然它們的雙向性很容易被學(xué)生們理解，但是在實(shí)際的運(yùn)用過程中，大多數(shù)人只習(xí)慣使用從左到右的正向性，對(duì)于逆向性卻很陌生.因此，在講授公式、法則的時(shí)候應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)逆向性的講解和使用，只有很靈活的掌握正向、逆向的法則、公式才能在解題的過程中做到游刃有余.

四、在解題的訓(xùn)練中，強(qiáng)化學(xué)生的逆向思維

在數(shù)學(xué)問題的解答過程中，我們常用到的集體思路有分析法、反證法，這些都是解決數(shù)學(xué)問題中逆向思維的應(yīng)用.當(dāng)要進(jìn)行幾何證明時(shí)，最有效培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的解題方式是分析法，鑒于此，在幾何的教學(xué)過程中，教師要重點(diǎn)對(duì)學(xué)生講解分析法的相關(guān)思路和想法.通常情況下，題目的解答都是由已知的條件出發(fā)，去直接推導(dǎo)要求的結(jié)果，但是有些題目卻需要從反面去思考，改變定式的思維，或者從所求結(jié)論入手，找出求證所必須的條件進(jìn)行思考，尋求最直接的解題途徑和最簡潔的解題突破口.

五、使學(xué)生們?cè)诙鄻踊顒?dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生的逆向思維

作為教師要積極調(diào)動(dòng)各方面的資源，為學(xué)生創(chuàng)造一些能夠自己動(dòng)手接觸并且探索數(shù)學(xué)問題活動(dòng)的機(jī)會(huì)，不僅能提高學(xué)生的動(dòng)手能力，還能提高他們的培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神和合作交流能力.事實(shí)證明，如果學(xué)生能在活動(dòng)中自己發(fā)現(xiàn)問題，并且積極思考進(jìn)行解決，所收獲的效果比教師逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行雙向思考更加顯著.例如，在進(jìn)行計(jì)算儲(chǔ)蓄和銀行利息教學(xué)的過程中，教師可以對(duì)學(xué)校和銀行進(jìn)行協(xié)調(diào)，結(jié)合實(shí)際情況盡可能使每一位同學(xué)都有機(jī)會(huì)去了解在銀行中關(guān)于各檔利息信息和計(jì)算利息所得稅的方法，在充分實(shí)際調(diào)研的前提下，整理好數(shù)據(jù)，編寫成與數(shù)學(xué)課程相關(guān)的題目，根據(jù)自己掌握和了解的知識(shí)在課后進(jìn)行解答，然后再在課堂上進(jìn)行交流探討、分類匯總，挑選出好的題目，同學(xué)們一起進(jìn)行討論研究，這樣更好的加深學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的熱情和對(duì)知識(shí)的理解.

六、尊重學(xué)生的個(gè)體差異，做到以人為本

在新課標(biāo)的教學(xué)理念中，明確提出了教學(xué)活動(dòng)要貫徹落實(shí)“以人為本”的理念.在我們根深蒂固的傳統(tǒng)教學(xué)模式中，最終的教學(xué)結(jié)果就是要求學(xué)生根據(jù)課本和教師的講解，得出所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案，但是每個(gè)學(xué)生的接受能力不一樣，掌握運(yùn)用知識(shí)的快慢程度也不一樣，如果單純的布置統(tǒng)一的作業(yè)，導(dǎo)致學(xué)生沒有任何創(chuàng)造性，思維得不到開拓.因此，教師要充分注意學(xué)生存在差異性，要有針對(duì)性的布置難度不同的作業(yè)，在他們的能力范圍內(nèi)調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性，由淺入深，逐漸提高學(xué)生的思維能力，使每個(gè)學(xué)生的特點(diǎn)長處得到充分的發(fā)掘和發(fā)展.

總之，在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，逆向思維是一種很重要的思維方式，它不僅有助于使學(xué)生們探尋一些難題的解題方向，尋找恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，還能加強(qiáng)學(xué)生們對(duì)概念和原理的認(rèn)識(shí)及理解.作為初中數(shù)學(xué)教師，必須從自身出發(fā)，掌握扎實(shí)豐富的基礎(chǔ)知識(shí)，結(jié)合恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)模式，量力而為、適可而止的對(duì)學(xué)生們進(jìn)行思維培養(yǎng)，循序漸進(jìn)，切不能急于求成，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的逆向思維，不斷優(yōu)化他們的思維品質(zhì)，最終達(dá)到每個(gè)學(xué)生的創(chuàng)新思維得到全面的發(fā)展和提高.

篇（3）

1 引言

數(shù)學(xué)是一門十分重要的學(xué)科，它在我們的現(xiàn)實(shí)生活中也有著很大的用途，所以說學(xué)好數(shù)學(xué)是非常有利于學(xué)生將來學(xué)業(yè)的發(fā)展的。在我們的課堂里，數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維能起到的效果會(huì)讓你意想不到，它不僅能夠開拓學(xué)生的想象空間與理解基礎(chǔ)的知識(shí)，更能發(fā)現(xiàn)解題的技巧跟克服遲滯性的思維。

2 基本定義公式和定理教學(xué)的逆向思維應(yīng)用

概念具有兩個(gè)要素：內(nèi)涵與外延，兩者存在反比關(guān)系，內(nèi)涵豐富外延就小，內(nèi)涵少則外延就廣，數(shù)學(xué)概念也是如此。在教授概念時(shí)，在對(duì)概念內(nèi)涵與外延進(jìn)行深入剖析的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過逆向思維體會(huì)概念存在的充分條件和必要條件。

3 充分利用習(xí)題訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

習(xí)題訓(xùn)練也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑之一。教師有意識(shí)地選編一些習(xí)題，進(jìn)行逆向思維的專項(xiàng)訓(xùn)練，對(duì)提高學(xué)生的逆向思維能力能夠起到很大的促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)中的許多公式、法則都可用等式表示。等號(hào)所具有的雙向性學(xué)生容易理解，但很多學(xué)生習(xí)慣于從左到右運(yùn)用公式、法則，而對(duì)于逆向運(yùn)用卻不習(xí)慣，因此，在數(shù)學(xué)公式、法則的教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)公式法則的逆用指導(dǎo)，使學(xué)生明白，只有靈活地運(yùn)用，才能使解題得心應(yīng)手。

分析：只注意到結(jié)果中的x（x-1）2是積的形式，卻忽略了小尾巴“-2”使積成了和，應(yīng)該這樣做原式=（x3-2x2）+（x-2）=（ x-2）（ x2+1）

4 要注意引導(dǎo)學(xué)生探索定理的逆命題是否成立

初中的數(shù)學(xué)命題中，很多性質(zhì)定理和判定定理互為逆定理。對(duì)于數(shù)學(xué)定理，探索其逆命題是否成立，既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維。

例如，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可分為三種情況：頂角平分線和底邊上的中線互相重合；頂角平分線和底邊上的高互相重合；底邊上的中線和高相互重合。這三種情況都易于證明，其逆命題是否成立？三種情況是否都成立？學(xué)生探索后發(fā)現(xiàn)：一邊上的中線和高互相重合的三角形是等腰三角形，一角平分線和對(duì)邊上的高相互重合的三角形是等腰三角形，而一角平分線和對(duì)邊中線相互重合的三角形是等腰三角形卻沒法證明。三種情況的不同，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

又如，對(duì)頂角相等是正確的，而其逆命題：相等的角是對(duì)頂角卻不正確。數(shù)學(xué)命題的正確與否，說明方法有兩種：證明和反例。證明即肯定一個(gè)命題，必須在題設(shè)的條件下，對(duì)所有可能情形都證明其結(jié)論正確，而否定一個(gè)命題時(shí)只要舉一個(gè)符合題設(shè)而結(jié)論不成立的例子，即反例即可。反例是突破固有定向思維而從問題的逆向思考的。因而，反例教學(xué)也是培養(yǎng)逆向思維的一條重要途徑。在教學(xué)中，反例教學(xué)要引起足夠的重視。三、要注意引導(dǎo)學(xué)生探索定理的逆命題是否成立。

初中的數(shù)學(xué)命題中，很多性質(zhì)定理和判定定理互為逆定理。對(duì)于數(shù)學(xué)定理，探索其逆命題是否成立，既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維。

篇（4）

橫向思維是從知識(shí)之間的橫向相似出發(fā)，即從數(shù)學(xué)的不同分支：代數(shù)、幾何、三角或分析等角度去考查對(duì)象，從有關(guān)規(guī)律出發(fā)去模擬，仿造或分析問題的思維方式.它利用相似性，把不同知識(shí)與方法交叉起來，從橫向的聯(lián)系中得到暗示或啟發(fā)，從而具有發(fā)現(xiàn)知識(shí)或方法的開放性，以及解決問題的靈活性.

從以上兩例可看出，橫向思維需要有“似曾相識(shí)”的感覺，要以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，知道一些基本問題的解法.只有如此，對(duì)于一個(gè)陌生的問題，進(jìn)行過深思熟慮的分析，采取遷移、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造等手法，才有可能聯(lián)想到一個(gè)熟悉的且與所給問題相類似的簡易問題，并根據(jù)這個(gè)簡易問題的解法來揣測解決所給問題采取的途徑，最終使問題獲解.在這一系列過程中，學(xué)生的零散知識(shí)得到重組，積極性充分調(diào)動(dòng)起來，分析解決問題的能力得到提高，活躍了思維，磨練了意志.

二、逆向思維

逆向思維是從已有的習(xí)慣思路的反向去思考和分析問題，表現(xiàn)為逆用定義、定理、公式、法則；逆向進(jìn)行推理，即順推繁雜時(shí)考慮逆求；反向進(jìn)行證明，即直接解決較困難時(shí)考慮間接解決，從反方向形成新結(jié)論，即探討可能性或合理性存在邏輯困難時(shí)考慮探討新的可能性等.逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性和反聯(lián)結(jié)性，它是擺脫思維定式，突破舊有思想框架，產(chǎn)生新思想、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式.

例3 如圖2，如果凸四邊形ABCD的兩組對(duì)邊的平方和相等，試證：ABCD的對(duì)角線互相垂直.

篇（5）

在當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中常采用的反證法和公式、定理的逆用等都是運(yùn)用了逆向思維，以下本文將簡單介紹如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開發(fā)和應(yīng)用逆向思維。

一、逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

逆向思維的重要意義就是要打破學(xué)生的思維定式，解除學(xué)生固有的思維框架，逆向思維就是在思考問題時(shí)思維發(fā)生突變和跳躍，從而獲得全新的解題思路和方法，逆向思維是建設(shè)新理論、發(fā)展新科學(xué)的重要途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中常應(yīng)用的假設(shè)需求解變量為x，即逆向思維在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用，其原理就是把原本需求解的未知數(shù)假定為x代入算式中，視x為已知，利用關(guān)系式反推而最終求出x的值。早在19世紀(jì)逆向思維就被應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而得出了“非歐幾何”，20世紀(jì)的“模糊數(shù)學(xué)”也是逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的典型事例。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的開發(fā)和鍛煉

關(guān)于如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開發(fā)和鍛煉學(xué)生的逆向思維，筆者有以下兩點(diǎn)建議。

1.將逆向教學(xué)滲入基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中

數(shù)學(xué)是初中教育的基礎(chǔ)學(xué)科之一，在重視學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握和應(yīng)用的同時(shí)，將逆向思維、逆向教學(xué)引入，不但可以加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的了解，還能夠開拓學(xué)生的思維能力和思考方式。在概念等基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)上應(yīng)著重加強(qiáng)逆向思維的教育。例如在概念中存在很多的“互為”關(guān)系，如“互為相反數(shù)”“互為倒數(shù)”等，教師可以利用這樣的概念來引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個(gè)方面分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力，幫助學(xué)生建立雙向的思維模式。如果教師能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)、適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從命題的反面來思考問題，那么學(xué)生的逆向思維能力就會(huì)在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中逐漸被開發(fā)出來。

2.強(qiáng)化逆向思維在解題方法上的滲透

①分析法。分析法注重由結(jié)論倒推需要得出解題答案的條

件，倒推過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)解題需要的充分條件都在已知條件中，分析法可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到解題過程是可逆的，有助于學(xué)生逆向思

維能力的培養(yǎng)。②反證法。反證法就是利用已知條件推理論斷來證明命題的相反面不成立，從而證明命題成立，反證法屬于間接求證的方法，數(shù)學(xué)中的很多命題從正面得出結(jié)論是非常難的，這時(shí)一般都會(huì)采用反證法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)反證法應(yīng)用的鍛煉，有助于開發(fā)學(xué)生的逆向思維、拓展學(xué)生思維的深度和廣度。③舉反例法。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，若要證明某個(gè)命題是錯(cuò)的，除直接證明外，還可以采用舉反例的方式來證明。即找出一個(gè)符合命題的條件，但是在該條件下命題結(jié)論并不成立的例子，這樣就證明這個(gè)命題是錯(cuò)誤的，舉反例法需要學(xué)生從逆向來看待問題、解決問題。因此，加強(qiáng)學(xué)生舉反例的鍛煉，也可極大地開發(fā)學(xué)生的逆向思維能力。

數(shù)學(xué)作為一門重要的學(xué)科之一，學(xué)生十分有必要學(xué)好數(shù)學(xué)，

這樣學(xué)生才能更好地發(fā)展自身的學(xué)業(yè)。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的推動(dòng)下，逆向思維的應(yīng)用對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來講尤為重要。學(xué)生只有掌握好逆向思維的應(yīng)用，才能更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，拓展想象力，進(jìn)而有效拓展新的解題思路。

參考文獻(xiàn)：

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【文章編號(hào)】0450-9889（2013）01B-

0075-02

逆向思維又稱反向思維，屬于發(fā)散性思維，是在研究問題的過程中有意地去做與正向思維相反方向的探索。進(jìn)行逆向思維可以突破思維定勢，往往能創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)簡捷、新穎、奇異的解決問題方法。

逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，經(jīng)過逆向思維訓(xùn)練的學(xué)生，思考問題比較靈活，解決疑難問題的效率比較高，處理實(shí)際問題的能力比較強(qiáng)。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須注意培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，在分析問題時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從反面來考慮，使學(xué)生學(xué)會(huì)動(dòng)腦。

一、從概念定義去逆向思考

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生透徹理解概念的定義，并注意根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，適時(shí)進(jìn)行逆用定義的指導(dǎo)和訓(xùn)練，從而使學(xué)生加深對(duì)概念定義的理解。

【例1】（2006年無錫試題）已知a、b滿足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，則+的值等于 。

分析：此題如果用求根公式分別求出a、b的值，再代入求值式子計(jì)算，非常繁瑣。如果注意到題目條件的結(jié)構(gòu)特征，從一元二次方程根的定義來進(jìn)行逆向思考，則可得到簡捷解法。

二、逆用數(shù)學(xué)公式、法則

數(shù)學(xué)公式、法則的雙向性學(xué)生容易理解，但很多學(xué)生只習(xí)慣順向運(yùn)用公式、法則，而對(duì)逆向運(yùn)用卻不習(xí)慣。因此，在數(shù)學(xué)公式、法則的教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)逆用公式、法則的指導(dǎo)，使學(xué)生明白，只有靈活運(yùn)用公式、法則，才能使解題得心應(yīng)手。

三、通過逆向運(yùn)算求解

【例3】（第五屆美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）求出滿足下列條件的最小正整數(shù)n：對(duì)于n，存在正整數(shù)k，使

分析：為了從條件中找出n應(yīng)該滿足的關(guān)系，需要簡化，分離n，為此，可對(duì)條件不等式的各項(xiàng)取倒數(shù)。

四、從已知條件的反面入手解題

五、根據(jù)結(jié)論找出使結(jié)論成立的條件

篇（7）

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展……使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！?要使學(xué)生在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展，我認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練是一個(gè)有效的捷徑。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“逆運(yùn)算” “逆否命題 ” “反證法 ”“分析法”等很多地方都涉及到思維的逆向性。培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力是素質(zhì)教育的一項(xiàng)重要任務(wù)，數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于提高學(xué)生的思維能力有特殊的意義。

俗話說的好：“在逆境中求生存，在生存中求發(fā)展。” 在逆境中如何求生存，這就要去思考，而創(chuàng)造性思維往往來自逆向思維，有時(shí)候則要打破常規(guī)的思維方式，反其道而行之，達(dá)到擺脫困境的目的，這樣的例子在歷史上枚不勝舉。有人落水，常規(guī)的思維模式是“救人離水”，而“司馬光砸缸”救起了小伙伴，就是運(yùn)用了“破缸留人”的逆向思維。古羅馬的阿基米德利用水的浮力和物體的排水量來鑒定國王的金冠。在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重學(xué)生逆向思維訓(xùn)練，就可以使學(xué)生養(yǎng)成多角度、多方位、多功能、多途徑思考問題的習(xí)慣，達(dá)到解決問題的目的。 解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要手段之一，因此教師在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分進(jìn)行逆向分析，以提高學(xué)生的解題能力。

以以下兩類為例：

一、順推不行則逆推

有些數(shù)學(xué)題，直接從已知條件入手來解，會(huì)得到多個(gè)結(jié)論，導(dǎo)致中途迷失方向，使得解題無法進(jìn)行下去。此時(shí)若運(yùn)用分析法，從命題的結(jié)論出發(fā)，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解題途徑。例如：

例1 已知a,b是 不相等的正數(shù)，求證：a3+ b3> a2b+ ab2要使 結(jié) 論 成立: a3 + b3> a2b+ ab2，只須知(a+b)(a2-ab+b2)> a2b+ab2，因?yàn)閍+b>0,要使(a+b) (a2-ab+b2) >a2b+ab2成立只須知道a2 -ab +b2>ab，要使a2 -ab +b2 > ab成立只須知道a2-2ab+ b2> 0，要使a2-ab+b2> 0成立只須知道(a-b)2>0。顯然由題設(shè)a≠b,(a -b)2>0是成立的。

例2 某文具店第一次把乒乓球賣出一半后，補(bǔ)充1000個(gè)，以后每次賣出一半后，都補(bǔ)充1000個(gè)，到第十次，賣出一半后恰好剩下了1000個(gè)，文具店原有多少個(gè)乒乓球?

分析 :若直接設(shè)文具店原有x個(gè)乒乓球，則第一次賣出一半后剩下x的一半個(gè).第二次賣出一半后剩下（x的一半加1000）的一半，依次下去做…這就太復(fù)雜了，現(xiàn)采用分析法解答。

解:設(shè)第十次賣出前有x個(gè)乒乓球，則x÷2= 2000，得x=2000這也是第九次賣出一半再補(bǔ)充1000個(gè)后的乒乓的球數(shù)，又設(shè)第九次賣出前有y個(gè)乒乓球1000，得y=2000，這也是第九次賣出一半再補(bǔ)充1000個(gè)乒乓球數(shù)。因每次賣出和補(bǔ)充乒乓球數(shù)的規(guī)律相同，可知文具店原來有乒乓球2000個(gè)。

二、正面不行用反面

這里的反面指的是用反證法，是初中階段兩大間接證發(fā)中的一種，另一種是同一法。

例1 設(shè) 二實(shí)數(shù)a和b，若a2+b2=0，則a和b必須同時(shí)為零。

證明 :設(shè) a,b至少有一個(gè)不為0，則有擴(kuò)、少中至少有一個(gè)不為0.

則有a2+b2>0，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，原式成立。

例2： 有關(guān)于x的三個(gè)方程x2 +4mx-4m+3=0; x2 +(m-1) x+m2 =0; x2 +2mx-2m=0.它們中至少一個(gè)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的范圍。

分析 “至少一個(gè)有實(shí)根”包括只有一個(gè)有實(shí)根；其中兩個(gè)方程有實(shí)根；三個(gè)方程都有實(shí)根三種情況。但我們考慮問題的反面：m為何實(shí)數(shù)時(shí)，三個(gè)方程均無實(shí)根。問題變得簡單易解。

解： 若三個(gè)方程均無實(shí)根，則有 ：

1＜0，2＜0，3＜0

則： -3／2 ＜m＜-1

篇（8）

數(shù)學(xué)中的定義是通過揭示其本質(zhì)而來的，定義都是充要條件，均為可逆的。所以，其命逆題也是成立的。因此，定義即是某一個(gè)數(shù)學(xué)概念的判定方法，也是這一概念的性質(zhì)。在教學(xué)中應(yīng)充分利用這一特征，尤為注意定義的逆用解決問題。在定義的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解定義本身及其應(yīng)用外，還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生逆向思考，從而加深對(duì)定義的理解與拓展。

如絕對(duì)值是這樣定義的：“正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零”除了從正向去理解計(jì)算，還要教學(xué)生逆向去理解，如“計(jì)算︱5︱=？︱-5︱=？”，這是從正向去理解計(jì)算，“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于5，這個(gè)數(shù)是多少？”這是逆向去理解計(jì)算。

二、重視數(shù)學(xué)公式、法則、性質(zhì)的可逆性教學(xué)

數(shù)學(xué)公式本身是雙向的，由左至右和由右至左同等重要，但習(xí)慣上講究由左至右或化繁為簡的順序。為了防止學(xué)生只能單向運(yùn)用公式，教師應(yīng)通過對(duì)公式的推導(dǎo)、公式的形成過程與公式的形式進(jìn)行對(duì)比，探索公式能否逆向運(yùn)用，從而培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力和逆用公式，鼓勵(lì)他們別出心裁地去解決問題，在“活”字上下工夫。

公式從左到右及從右到左，這樣的轉(zhuǎn)換正是由順向思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力的體現(xiàn)。因此，當(dāng)講授完一個(gè)公式及其應(yīng)用后，緊接著舉一些公式的逆應(yīng)用的例子，可以開闊學(xué)生的思維空間。

三、重視引導(dǎo)學(xué)生探討命題（定理）的逆命題

每個(gè)定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經(jīng)過證明后成立即為逆定理。在平面幾何中，許多的性質(zhì)與判定都有逆定理。因此教學(xué)時(shí)應(yīng)重視定理和逆定理，強(qiáng)調(diào)其可逆性與相互性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理證明的能力很有幫助。例如：“互為余角”的定義教學(xué)中，可采用以下形式：∠A+∠B=90°，∠A、∠B互為余角（順向思維），∠A、∠B互為余角?！螦+∠B=90°（逆向思維）。

當(dāng)然，在平常的教學(xué)中，教師本身應(yīng)明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時(shí)給學(xué)生以訓(xùn)練。如：平行線的性質(zhì)與判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定等，注意它的條件與結(jié)論的關(guān)系，加深對(duì)定理的理解和應(yīng)用，重視逆定理的教學(xué)對(duì)開闊學(xué)生思維視野，活躍思維大有益處。

四、注意逆向思維能力的培養(yǎng)

1.在解題中進(jìn)行逆向思維能力的培養(yǎng)

我們知道，解數(shù)學(xué)題最重要的是尋求解題思路，這就需要我們解題之前，綜合運(yùn)用分析和綜合或先順推，后逆推；或者先逆推，后順推；或者邊順推邊逆推，以求在某個(gè)環(huán)節(jié)達(dá)到統(tǒng)一，從而找到解題途徑。由此可見，探求解題思路的過程也存在著思維的可逆性，它們相輔相成，互相補(bǔ)充，以達(dá)到此路不通彼路通的效果。中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的逆運(yùn)算、否命題、反證法、分析法、充要條件等都涉及到思維的逆向性，在數(shù)學(xué)解題中，通常是從已知到結(jié)論的思維方式，然而有些數(shù)學(xué)總是按照這種思維方式則比較困難，而且常常伴隨有較大的運(yùn)算量，有時(shí)甚至無法解決，在這種情況下，只要我們多注意定理、公式、規(guī)律性例題的逆用，正難則反，往往可以使 問題簡化，經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)中進(jìn)行逆向思維教學(xué)的運(yùn)用

教學(xué)設(shè)計(jì)是中不僅注意反映教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)，還要注意到對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，特別要注意逆向思維的運(yùn)用。因此經(jīng)常逆向設(shè)問，以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)。

同時(shí)教師應(yīng)經(jīng)常地、有意識(shí)地從正反兩反面探索數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)立統(tǒng)一中去把握數(shù)學(xué)對(duì)象，解決數(shù)學(xué)問題。

教師在總結(jié)思維過程時(shí)應(yīng)告訴學(xué)生有的問題從“正面”不易解答時(shí)，從其“反面”思考往往有突破性效果。通過分析啟發(fā)很容易掌握，既激發(fā)了學(xué)生解題興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生正確思維方法和良好的思維習(xí)慣，思維能力逐步提高。因式分解一章教材本身就明確提出了“因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系”，教學(xué)中抓住“互逆”、“反過來”這條主線，就能讓學(xué)生真正理解因式分解的意義，并得到逆向思維的訓(xùn)練從而提高思維能力。

篇（9）

興趣是最好的老師，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該想方設(shè)法激發(fā)學(xué)生的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)逆向思維的積極性。

首先要確立教學(xué)活動(dòng)的主體――學(xué)生，要讓學(xué)生主動(dòng)積極地參與到教學(xué)活動(dòng)中來，充分發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性，激發(fā)他們探求知識(shí)的欲望。

其次教師要不斷提高自身的素質(zhì)。教師所擁有的淵博的知識(shí)及超凡的人格魅力也能在一定程度上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

再次，教師要有意識(shí)地運(yùn)用逆向思維方法分析、引導(dǎo)和演示一些經(jīng)典的題型，從而讓學(xué)生體會(huì)到逆向思維的偉大，從中發(fā)掘出數(shù)學(xué)的美。學(xué)以致用，數(shù)學(xué)來源與生活，又回歸于生活，生活是一本厚實(shí)的書，掩藏著無盡的智慧。在日常生活中不乏經(jīng)典的逆向思維問題，往往一個(gè)不經(jīng)意中的運(yùn)用，便解決了困繞以久的難題，甚至于發(fā)明創(chuàng)造出讓人類受益不淺的成果。在教學(xué)過程中可以適當(dāng)穿插這些實(shí)例，讓學(xué)生意識(shí)到逆向思維的益處和重要性，從而逐漸增強(qiáng)學(xué)生使用逆向思維的主動(dòng)性和積極性。

二、牢固地掌握并熟練地使用性質(zhì)及公式，是解題的關(guān)鍵

根據(jù)定義、定理衍生出來的一些結(jié)論，是相關(guān)數(shù)學(xué)問題中的一部分特征。在一定范圍下使用這些結(jié)論能使得我們的運(yùn)算過程大大縮短，能使我們從很繁雜、抽象的運(yùn)算中找到靈感，找出捷徑，看到解題的曙光。

許多數(shù)學(xué)問題，實(shí)質(zhì)上只需要對(duì)一些相關(guān)性質(zhì)、公式、法則等進(jìn)行綜合運(yùn)用，就能夠解決。但是在實(shí)際的解題過程中，學(xué)生往往會(huì)沒有思路，不知道如何著手。關(guān)鍵在于學(xué)生對(duì)這些性質(zhì)、公式等，掌握得不熟練，不知道碰到哪類問題可以使用哪些性質(zhì)、公式進(jìn)行解決；而且在記憶的時(shí)候有的學(xué)生習(xí)慣于從左往右記，導(dǎo)致了一旦問題中出現(xiàn)了右邊的部分，想不到把性質(zhì)、公式等反過來用。

因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)公式、性質(zhì)的互逆形式并教會(huì)學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行互逆記憶。在練習(xí)中訓(xùn)練學(xué)生體會(huì)并學(xué)會(huì)對(duì)公式的逆用，培養(yǎng)學(xué)生解題思維的敏銳性、靈活性、變通性；培養(yǎng)學(xué)生善于逆向思考的習(xí)慣，提高靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和解題效率。

三、在實(shí)際生活中獲得逆向思維的啟示

教書育人。教師不但要傳授給學(xué)生知識(shí)，更要教會(huì)他們?cè)鯓幼鋈耍鯓由睢囵B(yǎng)他們的生活智慧和藝術(shù)。讓學(xué)生把學(xué)習(xí)中獲得的思維能力帶到生活中去，使他們更客觀、理智地看待問題，不走極端路線。

逆向思維是對(duì)傳統(tǒng)、慣例、常識(shí)的反叛，是對(duì)常規(guī)的挑戰(zhàn)。它能夠克服思維定勢，破除由經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣造成的僵化的認(rèn)識(shí)模式。而循規(guī)蹈矩的思維和按傳統(tǒng)方式解決問題雖然簡單，但容易使思路僵化、刻板，擺脫不掉習(xí)慣的束縛，得到的往往是一些司空見慣的答案。其實(shí)，任何事物都具有多方面屬性。由于受過去經(jīng)驗(yàn)的影響，人們?nèi)菀卓吹绞煜さ囊幻?，而?duì)另一面卻視而不見。逆向思維能克服這一障礙，往往能出人意料地給人以耳目一新的感覺。例如古時(shí)候“司馬光砸缸”的這個(gè)故事，一般的常規(guī)想法就是“救人離水”，但是小司馬光等人能力不夠，于是小司馬光運(yùn)用逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破“讓水離人”，救出小伙伴。

某時(shí)裝店的經(jīng)理不小心將一條高檔呢裙燒了一個(gè)洞，其身價(jià)一落千丈。如果用織補(bǔ)法補(bǔ)救，也只是蒙混過關(guān)，欺騙顧客。這位經(jīng)理突發(fā)奇想，干脆在小洞的周圍又挖了許多小洞，并精于修飾，將其命名為“鳳尾裙”。一下子，“鳳尾裙”銷路頓開，該時(shí)裝店也出了名。逆向思維帶來了可觀的經(jīng)濟(jì)效益。無跟襪的誕生與“鳳尾裙”異曲同工。因?yàn)橐m跟容易破，一破就毀了一雙襪子，商家運(yùn)用逆向思維，試制成功無跟襪，創(chuàng)造了非常良好的商機(jī)。

四、作業(yè)輔導(dǎo)及考查，以鞏固對(duì)逆向思維的理解和掌握

篇（10）

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力

類比思維能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生具有重要作用，類比思維能力也是每一個(gè)人應(yīng)該具備的能力，因?yàn)樗鼘?duì)我們的生活有著極為重要的意義。類比思維能力在日常生活中的應(yīng)用也非常廣泛，幫助人們解決了很多問題，例如，人們可以根據(jù)今年冬天的降雪量以及溫度推測出明年糧食的收成，可以根據(jù)晚上的天氣狀況推測出第二天的天氣狀況，這些問題能夠推測出來，依靠的都是人類的類比思維能力。類比思維能力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也具有非常重要的意義，她主要是要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中利用已知的條件，推測出未知的答案，例如，等邊三角形ABC的高是6，已知D是BC的中點(diǎn)，DE垂直于AB，DF垂直于AC，求：DE+DF=？這道題就要求學(xué)生利用類比思維解決問題，用題目中的已知條件，求出正確答案。這也說明，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力是很重要的，老師在教學(xué)過程中要注意對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)。