序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇數學學習的概念范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

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中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）14-291-01

一、農村中下層初中生數學學習主動性培養(yǎng)的概念解析

伴隨著基礎教育新課程改革的深入，突出教育教學過程中的學生參與性、激發(fā)他們學習的主動性已經成為課堂改革的必然要求。著重突出學生在教育教學過程中的自覺性和主動探究性，這不僅僅是教育教學行為的變革，更是教育教學理念和思維的轉變。而學習主動性的培養(yǎng)重點就在于創(chuàng)設各種有利條件和機會，讓學生作為學習的主體去體驗知識，鍛煉能力，實現(xiàn)教育教學的三維目標。

農村中下層學生是指由于各種原因引起的，學習成績偏差的農村學生，這些學生有的是可以通過一些方法能夠改善學習成績的。激發(fā)他們數學學習的主動性是教師根據他們的現(xiàn)有學情，認知特點和學習規(guī)律，通過創(chuàng)設現(xiàn)實的情境和機會，呈現(xiàn)或再現(xiàn)、還原數學的教學內容，能讓學生自覺和積極的參與思考和學習， 使學生在學習的過程中積極的理解并掌握文化知識、發(fā)展自身能力。

二、農村中下層初中生數學學習主動性培養(yǎng)的意義探究

1、體現(xiàn)時代性的優(yōu)勢，培養(yǎng)了大批創(chuàng)新型人才

創(chuàng)新型人才就是不拘一格，各式各樣的人才觀，與此相適應，我國“《基礎教育課程改革綱要》指出，要轉變學生的學習方式，就要改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生學習的自覺性和主動性，讓他們樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力?！迸囵B(yǎng)學生的自主性和創(chuàng)造性意識。學生主動參與知識形成過程，自主探索，獨立思考，利用已有的認知結構，對外部信息進行主動性選擇、推斷，主動發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，創(chuàng)造性地解決問題，成為知識的發(fā)現(xiàn)者與運用者，可以發(fā)展學生以創(chuàng)新精神和實踐能力為核心的素質，智力也會得到較好的發(fā)展。

2、把握規(guī)律性的優(yōu)勢，定位了教與學共同發(fā)展的結合點

學習主動性的培養(yǎng)是把握學生成長成才的規(guī)律，很好地改革教材和教學方法的體現(xiàn)。隨著教材改革的全面鋪開，初中數學課教材已經實現(xiàn)了新舊轉型，教學方式也做了創(chuàng)新和改革，尤其是增加了學生參與活動的環(huán)節(jié)，自主探究的環(huán)節(jié)，如：“想一想”、“議一議”“說一說”、“閱讀天地”、“操作平臺”、“辯論會”等；初中數學課每一單元開頭都設置了“探究主題”（探究活動）來指導單元教學，案例和活動也較多。總之這些變化都強化了過程性、體驗性目標以期引導學生主動參與學習過程、培養(yǎng)自主合作探究、激發(fā)學習主動性等主體性精神，變革單一的記憶、接受、模仿的被動學習方式。

3、富有創(chuàng)造性的優(yōu)勢，提高了學生的社會品質

在初中數學學習的過程中，激發(fā)學生學習的主動性可以培養(yǎng)學生良好的社會品質。努力培養(yǎng)學生良好的社會品質是教學義不容辭的責任。在學習中，突出學生主動性能力的培養(yǎng)，讓學生成為學習的主體，自始自終充當主人的角色，他們把教學看作是自己的責任，在活動中，能夠確立敢于負責的意識和精神。主動性的培養(yǎng)可以使學生在與教師、同學頻繁的交往中學會與人相處的藝術，從而使自己具有一定的親他性。學生在積極主動的學習過程中，既能夠恰如其分地表現(xiàn)自己，又能使別人有表現(xiàn)的機會，共同的活動是人們交往的前提，學生在共同的活動中將學會如何與人相處、與人合作。

4、強化溝通的優(yōu)勢，有利于建立良好的師生關系

學生主動性的培養(yǎng)，是讓學生成為學習的主角，我們知道，教師與學生之間彼此相倚，教師是教學活動的組織者、指導者，學生是自我發(fā)展的自主參與者，是積極的探索與創(chuàng)造者，師生之間是一種民主、平等、合作的交往關系。教師能夠創(chuàng)造條件滿足學生的參與愿望，學生就會有明顯的向師性。他們高昂的參與熱情會在一定程度上助長教師的教育熱情，一種更加強烈的情感或許由此產生。在學習中培養(yǎng)學生的主動性，可以增強學生與教師的交流與合作，學生的人格價值也會得到體現(xiàn)。在與教師的交流過程中，也會感受到教師對教育工作的責任感，對學生無私的關愛，從而增強對教師的理解與尊重，教師的人格價值也會在學生心目中得到升華。

5、活躍的課堂氣氛優(yōu)勢，有利于提高教學質量

在學習中，培養(yǎng)學生的學習主動性會形成多邊的教學交流，這是課堂氣氛活躍的前提。學生主動性的培養(yǎng)有利于學生的需要（即表現(xiàn)的需要、求知的需要、發(fā)展的需要）得到滿足。通過參與，學生可以獲得表現(xiàn)的機會，他們學習的積極性會被調動起來，課堂上洋溢著的不只是教師的熱情。成功的體驗更有助于學生求知欲望的產生。輕松、活躍的學習氛圍，會讓師生雙方體會到教學是人生的一大樂事。學生在參與的過程中，將形成學習的自覺性、積極性，并不斷反思學習方法，從而獲得良好的學習效果。由此看來，教師應根據教學的實際特點，提出行之有效的策略，讓學生在課堂上充分地發(fā)展，通過培養(yǎng)學生學習主動性實現(xiàn)教學過程整體的最優(yōu)化，提高教學質量。

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由于小學生的認知能力還不夠，對事物的認識一般都是從感性到理性、從具體到抽象的過程，尤其是低年級學生的思維還處在具體形象的階段，更加需要注重從實際引入概念。隨著小學生年齡的不斷增長，其知識面也在不斷地擴大，所學會的概念也在逐漸增多，思維逐漸朝著抽象方向發(fā)展，但是這種抽象的思維也是建立在具體事物形象的基礎之上的。所以，小學數學教師在引入數學概念時，就應該先從學生熟悉的事物出發(fā)。例如在講解長方形之前，學生已經對直線、線段、角等概念有了初步的認識，教師就可以利用黑板、課桌、書本等實際的例子讓學生觀察，從而幫助學生抽象出長方形的具體特點。通過學生的總結能夠得出，長方形有四條邊，并且其對邊相等，四個角都是直角，這樣能夠使學生更加直觀地理解概念。

同時，教師在引入新概念時，也可以通過與其相關的舊概念引入，并通過對舊概念的引申和指導，使學生更加直觀地理解新概念。例如教師在講解分數乘法的概念時，就可以通過整數乘法的概念引入，先幫助學生復習整數乘法的概念，再逐步地深入分數乘法概念，這樣不僅能夠復習舊知識，也能夠降低教學難度，幫助學生更好地理解概念。

二、形成概念，深化理解

學習數學概念最根本的目標就是為了揭示概念的內涵與外延的意義。針對一些描述性的概念，就需要了解概念的本質屬性，從其內涵上深入；而針對定義性的概念，除了揭示其內涵以外，還需要講清楚它的外延，這樣才能夠幫助學生更加深入地理解概念。首先，教師在概念教學當中應該突出概念的本質屬性。由于數學概念都是從客觀事實當中總結出來的，而客觀事實都具有很多屬性，其中就包括本質屬性與非本質屬性。其中，本質屬性是指這一事物與其他事物相區(qū)別的特征，在教學當中教師只有抓住了最本質的屬性和特征，才能夠深化學生的理解。例如教師在講解無限循環(huán)小數的概念時，就應該注意其兩點本質：第一，這部分講的是小數部分，和整數部分無關；第二，循環(huán)的一個或幾個數字應該重復地出現(xiàn)，并且需要依次不斷地出現(xiàn)。

其次，教師在講解概念時需要進行比較。在數學當中有很多概念都是具有相互聯(lián)系的，這些概念既有相同點，也有不同之處，教師在講解時只有幫助學生理解了異同之處，才能夠使學生更加明確這些概念。例如在幫助學生區(qū)分長方形和平行四邊形時，就需要讓學生了解長方形是特殊的平行四邊形。通過這種對比的方法，就能夠更加清晰地反映出兩個概念之間的異同。

第三，教師在講解概念時需要突出概念中的內涵與外延。如果在教師的教學過程當中不斷地重復某一種例子或者圖形，就很容易把學生的注意力引入到一些非本質的屬性當中去，卻忽視了對事物本質屬性的認識。教師在講解概念當中的內涵和外延時，就應該通過例題的變化來加深學生的理解。例如教師在講解圖形時，就可以把三角形、平行四邊形、梯形等圖形不斷地變換，讓學生在變換過程當中也能夠認識圖形，從而激發(fā)學生對數學學習的興趣。

三、鞏固概念，加深認識

教師在教學當中運用識記教學的過程就是對學生數學概念的鞏固過程，也能夠加深學生對數學概念的理解與運用。首先，教師應該更加深入、透徹地講解概念，通過這種深入的理解，學生的記憶才會更加深刻，在今后的學習當中才能夠更加靈活地運用。鞏固學生的數學概念不能直接讓學生死記硬背，而是應該在實際的應用當中深入，而在實際的計算、應用等問題當中，就需要使用大量的數學概念，通過實際的應用，不僅能夠幫助學生鞏固概念，也會更加深入地理解概念。因此，教師在講解完新概念之后，就應該給學生設計一些練習題。

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一、建構主義的概念學習

建構主義的最早提出者是瑞士心理學家皮亞杰，他對于建構主義的基本觀念是：兒童在和四周的環(huán)境相互影響時，慢慢獲得有關大千世界的知識，這樣自己的知識結構得到了發(fā)展.其中相互作用涉及三個基本過程：同化、順應和平衡、個體將外部刺激所提供的信息整理到自己已有的認知結構的過程叫做同化.順應指個體原有的認知結構受到外部刺激而發(fā)生變化的過程.平衡指個體通過自我調節(jié)使認知發(fā)展從一個平衡點到另一個較高平衡點變化的過程.他認為，人類智慧的實質，就是同化和順應間的平衡過程，個體受到新的刺激時，就會用原有圖示去同化.若成功，就會出現(xiàn)短時間的平衡；若不成功，個體就會調動以前的圖式或新建一個圖式，直到最后認知上達到新平衡.兒童的認知結構就是在“平衡――不平衡――新的平衡”的循環(huán)中不斷地豐富、提高和發(fā)展的.建構主義教學論的本質：建立一類認知結構就是學習.建構主義對概念學習的積極方面：(1)數學概念是一個主動建構的過程，并不是客觀實在被主體簡單的、被動的反映；(2)在建構的過程中主體已有的認知結構發(fā)揮了特別重要的作用，并處于不斷的發(fā)展之中.

二、學生已有的經驗

學生已有的經驗來自學校學習和日常生活，它對新概念的學習有積極作用和消極作用.

1積極作用

因為數學知識之間本身是有連續(xù)性的，又根據皮亞杰的認知發(fā)展的理論，學生在學習數學概念時往往是從原有的認知結構來出發(fā)去理解和區(qū)分事物的各種聯(lián)系及性質，若成功，就獲得短暫的平衡；若不成功，學生就會建立新的認知結構或調節(jié)已有的認知結構，去順應新概念，最終獲得成功.因此學生要想牢固掌握所學新概念，就必須依靠原有認知結構中的有關知識和經驗.理解概念本質的前提是豐富的經驗，一名學生的認知結構越完善，表明他的生活經驗就越豐富，這樣獲得概念的效果更好.因此學生在數學學習中，一定要學好前面的知識，否則就會影響后續(xù)的學習，因為學習者如果不具備與新概念有關的知識就很難全面認識和理解新知識，此時新舊知識又出現(xiàn)了斷鏈，形成了不連通的網絡，如果再繼續(xù)下去，就會出現(xiàn)更大面積的破網，所以學習的基礎很重要.

2消極作用

日常概念具有模糊性、廣泛性和多義性，很容易導致學生錯誤理解數學概念，因為有些概念的日常用語的含義和數學的實質不一致，例如數學中的“或”“和”等概念，這樣就會使得學生在掌握概念的過程中遇到困難，產生誤解形成錯誤概念，而當學生建構了錯誤概念，就算學習了科學的概念，但是這種先入為主的觀念依然存在于他們的潛意識里，美國著名的數學教育家戴維斯教授就曾說過這種錯誤觀念的頑固性.另外，學生生活在客觀世界中，在學校學習數學概念之前，就已經有一系列的概念和觀念，但當時受到思維水平的限制，這些概念是片面的或是錯誤的，盡管如此，波利亞曾說明了過去的經驗和知識才讓我們產生好念頭，因而這些前概念對學生概念的學習有很大的影響，有的概念已經在大腦里形成了一定的理論體系，即已經根深蒂固，這樣它就會抵觸與之相關的科學概念，就算接受了，也是一個錯誤概念和科學概念的混合體.例如，學生熟悉冪的運算律(ab)n=anbn，而出現(xiàn)了錯誤m2?n2=(m?n)2.又如，logaM+logaN=loga(M+N)，logaM?logaN=logaMN等.

三、學生思維定式

近年來，很多老師抱怨不少學生做概念的相關題目時“一望就會、一動就錯”“眼高手低”等，這是因為學生在解題中出現(xiàn)了思維定式，即用原來的思維方式去學習新的概念，或者用原來的方法去理解新概念，這樣就出現(xiàn)了一些慣性錯誤，這是因為已形成概念思維定式了.當概念的學習從一個層次轉入另一個層次、從一個階段轉入另一個階段時，通過表象網絡等的作用，對應的思維表象、思維模式、知識網絡便自覺地進行了加工，做了不恰當的推廣，而很多同學則按照過去的思維，自認為是做了合理的推廣，其實新的層次與原來的層次之間的差異被忽略了，因此學習的概念往往是錯誤的.通常概念的表象、定義及運用在各個階段的轉換過程中也會不自覺地進入思維定式而導致錯誤.同時隨著認知層次的發(fā)展數學概念是不斷改變的，這時就要求學生打破已形成的數學概念模式，去建立新概念，但是學生的思維還是陳舊的，當在新的領域里討論問題時，思維還是不自覺地進入了限制的領域，而且同階段的差異性之間也存在著矛盾，導致了學生學習概念的困難.例如函數概念的學習，在初中是描述的，是作為常量數學的函數，然而到了高中就可以用映射或者別的觀點來描述，其核心是“對應關系”，因此，若初中過于強調這種描述性的定義，必然給高中函數的學習帶來困難，因為學生的思維已經定式.

1學生概括的能力

心理學研究表明，學生形成和掌握概念的直接前提是抽象和概括.事實上，數學概念的抽象性具有層次性的特點，因此在學習數學概念的過程中，只有按照數學概念的結構層次，讓概念的學習成為一個螺旋上升的過程，讓抽象程度低的概念成為高層次概括活動的具體素材，伴隨著不斷提高的概括活動層次，學生掌握的概念的抽象程度也被提高了，并逐漸形成了良好的結構功能的概念體系.這樣學生才會準確地掌握概念的本質屬性，然而很多學生有較低的抽象概括能力，他們不能掌握事物的本質屬性，因而影響了數學概念的理解和掌握.因為只有概括了的概念才方便記憶，也有利于遷移，李秉德先生曾經強調在數學教學中與其說為教遷移而不如說為教概括.如果概括能力差，信息就很快被遺忘或儲存很亂，這樣就影響了概念的同化和順應，因此，數學教師要注意不斷提高學生的概括水平，比如可以實施啟發(fā)式教學，在教學中創(chuàng)設問題的情境，并且精心設計數學概念的形成過程，讓學生親自體會由具體到抽象概括事物本質屬性的過程.例如函數的定義，課本是比較局限的定義F(x)是函數，而F(F(x))就不明白了，逐漸地深入，這樣有利于提高學生對數學抽象的概括能力，這樣就有利于學生學習數學概念.

2學生語言表達的能力

波利亞認為轉化是最獨特的一種智力活動.因此在數學概念的教學中必須重視確立和運用數學語言.教學實踐表明，若一名學生能夠把所學的數學概念的有關屬性及它們之間的關系用自己的語言來表述，那么他就容易地把它們應用在新的情境，那樣就能更好地學習數學概念.然而在實際的教學中，學生自我語言的形成被很多教師和學生都忽略了，他們往往認為數學概念追求的目標是形式化的語言，這樣導致的結果是一方面學生學習的概念是通過不完善的自我語言來建構的，另一方面學生又要記老師教的形式化的語言，同時又隔離兩者，片面理解了概念，這樣就增加了解決問題的障礙與記憶的負擔.著名科學家A.Einsetni曾指出一個人的智力及學習的方法很大程度上是取決于語言，這一精辟論述深刻地揭示了數學語言表達能力與概念學習的密切關系.因此，對概念的語言進行分解，能使學生掌握概念應用的操作程序，這樣就能更深刻地理解和熟練地運用概念.

四、學生不好的學習方法和習慣

方法是成功的必要因素，科學的學習方法和良好的學習習慣可以在一定程度上彌補學生智力上的不足，而不少學生有不好的學習方法和習慣，少部分學生會去做筆記和整理錯題，相當一部分學生的學習習慣不好，不會歸納總結方法，以及忽略不懂的概念.

1學習方法

每名同學有不同的學習方法，學習方法不好的同學開始學習成績差，若不及時總結經驗，改變學習方法，成績只會越來越差.當與別人的差距到一定程度時，就很難趕上去，這時就會對學習失去興趣，造成惡性循環(huán)，慢慢就對自己完全失去了信心.所以學生會不會學，有沒有好的學習方法，會直接影響到數學概念的學習.很多學生上課不認真做筆記，而人的記憶只能停留幾天，這樣就會導致遺忘，學了等于白學.還有的學生不重視訂正錯誤，對做錯的題也不善于從中分析原因，而一個人的大腦里錯誤的觀念是非常頑固的，這樣的后果是之前做錯，以后還會做錯.當然，還有其他的不好的學習方法，例如，盲目地解題，不注重理解知識、領會方法，只會死記硬背概念的定義、公式.我認為在數學的學習包括數學概念的學習中，準備筆記本和錯題本是很重要的，因為筆記本可以防止學生的遺忘，并且讓學生把握重點知識，錯題本可以起到幫學生避免負遷移，訂正頭腦里的錯誤的觀念的作用.因此，做筆記和訂正錯誤是個很重要的學習方法.而學生的學習方法是需要靠教師和父母來指導的，但是主要是老師，所以老師要加強學法指導.讓學生珍惜和重視自己的學習過程，多嘗試和訓練領悟到的學習方法，讓它們內化成自己的能力，提高自己學會學習的本領.而概念方面的錯誤常常是學生數學成績差的主要根源之一.因為概念是學習數學知識的奠基石，基礎打好了才能越爬越高.概念的學習也需要方法，有好的學習方法就能不斷地學習到新知識，逐步使自己有更加好的成績.

2學習習慣

我國著名教育家葉圣陶先生說過好的學習方法可以轉化成好的學習習慣，所以我們要養(yǎng)成做筆記和改錯題的好習慣.當然還有其他的很多的好的學習習慣，很多學生不善于總結知識，學習了很多知識，解完了很多題目，都不去總結、歸類和推廣，以后碰到類似的題目，還是不會做;還有的學生不重視學習，沒有主動性和積極性，習慣放松，沒有探索的精神.比如一些數學成績差的同學，不能理解一些概念，與概念相關的題目也不會做，就自動放棄和忽略了，自己根本不愿意去花時間思考，也不去弄清楚搞明白.試想：若不經歷一個思考的過程，不經過很多思維的碰撞與組合，怎么可能學好概念？很多學生在初中就養(yǎng)成了直接套用公式的學習模式，而進入高中就不同了，同樣的問題，不同的思維角度，將直接影響解題的繁簡程度.例如求二次函數的最值，看似它是一個純代數的問題，但是用代數觀點解非常麻煩，若對解析幾何中的斜率和兩點間的距離公式很熟悉就可以使問題變得非常簡單.所以平時養(yǎng)成歸類、總結和推廣的好習慣，能輕松解題.另外，認真思考的學習習慣可以加深對概念的理解和記憶，從感性認識升華到理性認識，還可以防止死讀書和讀死書，在學習時都能批判地吸收以及激發(fā)靈感，解開困惑.而在實際的教學中，我們會注意到，很多同學急于求成和急功近利，學習概念時，沒弄清概念的內涵和外延就被假象所蒙蔽，抽象、概括、判斷和準確的邏輯推理未能采用多層次的分析，同時數學概念應用于問題解題后的整體思考、回顧和反思，包括都用到哪些概念、數學概念的應用是否正確、對問題的解決有什么獨特之處、是否可找出另外的方案、能否推廣和遷移等，都被忽視了，從而導致他們的興趣和注意指向偏差，忽視了數學過程而偏重數學的結論，而且學生之間的交流就是比較分數，這樣就很少有同學去深層次地討論數學概念建構過程和對解題方法的影響.這樣學生就不能完全理解概念，不能從本質上認識數學問題，正確的概念就沒辦法形成，深刻的結論也難以領會.

數學是玩概念的！數學思維的特點是用概念思維，是抽象思維；數學解題離不開概念，解題又有利于對數學概念的理解，相輔相成.讓我們把數學概念的學習放在數學教學的首要位置.

【參考文獻】

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一、生活中的距離

生活中人們對距離概念的理解通常是來自所看見兩個物體的相對位置關系，也就是我們所說的遠近程度。在物理學中，距離是由某些媒介，如人、動物和交通工具所經過的路線的長度，由起點到終點的向量則是位移。在數學中，距離是一種標量，不具有方向，僅含量，這種量不會是負數。同時，距離也是泛函分析中最基本的概念之一，它所定義的距離空間連接了拓撲空間與賦范線性空間等其他空間，是學習泛函分析首要接觸的概念，也是定義在度量空間的一種函數。

下面我們主要從數學的角度來探究距離的概念。

對于一維、二維、三維空間中兩點間的距離，我們都非常熟悉，以三維空間為例，在三維歐式空間中，設其中的兩點分別為A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則兩點間的距離為

AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2。

這是對于我們現(xiàn)實生活中的距離，我們能借助勾股定理將兩點間的距離刻劃成線段來得到他們間的數量關系。同樣，對于n維線性空間上的距離，我們通過代數形式的類比，得出A，B兩點的距離表達式

AB=AB=OA-OB=∑ni=1xi-yi21/2。

從上述內容中可以看出，不論是R中的點還是Rn中的點，甚至任意集合中的點，只要在其中定義了距離，我們就可以用它來衡量兩點的接近程度。眾所周知，極限是分析數學學習的基礎，而距離又是極限定義的基礎，所以，下面我們首先來考察距離與極限的關系。

二、距離與極限的關系

首先我們給出數列極限的定義。

定義1：設為數列an，a為定數，如果對任給的正數ε，都存在正整數N，使得當n>N時有an-a<ε

則稱數列an收斂于a，定數a稱為數列an的極限，并記作

limn∞an=a，或anan∞

讀作“當n趨于無窮大時，an的極限等于a或an趨于a”。

從直觀上看，如果將數列看成實數軸上的一列點，任意兩點間的距離等于兩點差的絕對值，當n越來越大時，an與a的差越來越?。ㄗ銐蛐。?，也就是說an與a之間的距離越來越小。

由此可見，距離在極限的學習中起著至關重要的作用。

定義2：若fx在點x0的某領域內有定義，且limxx0fx=fx0，則稱f在點x0連續(xù)，x0稱為f的連續(xù)點。

用“ε-δ”語言即：若對任給的ε>0，存在δ>0，使得當x-x0<δ時有f（x）-f（x0）<ε， 則稱函數f在點x0上連續(xù)。

由此可見，在數列和一元函數的極限中，距離都可以用兩點間的差的絕對值表示出來，所以我們可以得出結論，極限和距離有著密切的關系，極限均可用距離來表示。一般n元函數極限的定義與一元函數的定義類似。

三、度量空間中的距離

定義3（度量空間定義）：設X是任意一個非空集合，x，y，z∈X，都有唯一確定的實數d（x，y）與之對應且滿足

1.（非負性）dx，y≥0，d（x，y）=0x=y;

2.（三點不等式）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）;

稱dx，y是x，y之間距離，稱X，d為度量空間（或距離空間）。

對于距離空間，我們舉幾個例子：

例1：對于點集Rn，對Rn中任意兩點x=（ξ1，ξ2，…，ξn），y=（η1，η2，…，ηn），規(guī)定d（x，y）=（∑ni=1ξi-ηi2）12，可以驗證，d（x，y） 滿足距離的定義要求，故Rn，d成為一個距離空間，即我們熟知的n維歐氏空間。

例2：l2表示滿足∑∞i=1xi2<+∞的實數列（即平方可和數列）xi的全體，在l2上定義：x=x1，…，xi，…∈l2，y=（y1，…，yi，…）∈l2，ρ（x，y）=∑∞i=1xi-yj212，可以驗證，ρ（x，y） 滿足距離的定義要求，從而（l2，ρ）為距離空間。此空間在處理無限維Hilbert空間理論時非常重要。

下面我們再給出幾種不常見到，但又具有重要意義的特殊距離。

四、幾個特殊距離定義

1、切比雪夫距離：數學上，切比雪夫距離（或是L∞度量是向量空間中的一種度量，二個點之間的距離定義為其各座標數值差的最大值。以x1，y1和x2，y2二點為例，其切比雪夫距離為max（x2-x1，y1-y2）。

若二個向量或二個點p 和 q，其坐標分別為pi及qi，則兩者之間的切比雪夫距離定義如下：Dchebyshev（p，q）=maxi（pi-qi）

這也等于以下Lp度量的極值：limk∞（∑ni=1pi-qik）1k。

因此切比雪夫距離也稱為L∞度量。

以數學的觀點來看，切比雪夫距離是由一致范數（或稱為上確界范數）所衍生的度量，也是超凸度量的一種。

2、偽雙曲距離

在復平面單位圓盤中，定義ρ（z，w）=z-w1-zw，z，w∈DT∈B（H），記T=（TT）12，設A，B∈BH，φAB=A-BI-AB-1，令d（A，B）為A，B間的偽雙曲距離。

3、Bergman距離：設z，w是Ω中的兩點，Ω 中連接z，w的光滑曲線全體記為Q，即Q=γ：0，1Ω是光滑曲線：γ0=z，γ1=w，定義z，w的Bergman距離β（z，w）=infrB：r∈〗Q ，βz，w=12log1+ρ（z，w）1-ρ（z，w）。

偽雙曲距離和Bergman距離在函數空間上算子理論研究中起著很重要的作用，在許多問題的討論中需要借助于這兩種距離的各種酉不變性質。

此篇文章，我們從生活中的距離，引出數學中的距離，分析抽象中的距離，這使我們愈加清楚了距離概念的重要性，也會對我們今后對數學的學習產生更加深刻的領會。（作者單位：沈陽師范大學數學與系統(tǒng)科學學院）

參考文獻：

[1]梅加強. 數學分析[M]. 北京：高等教育出版社.2010.

[2]郭大鈞，陳玉妹，裘卓明.數學分析[M]. 山東：山東科學技術出版社.1982.

[3]劉玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，劉寧.數學分析[M]. 北京：高等教育出版社.2002.

[4]匡繼昌.實分析與泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社.2003.

[5]A.H. 柯爾莫戈洛夫，C.B.佛明.函數論與泛函分析初步[M]. 北京：高等教育出版社.2006.

[6]孫玉泉，張有光.序列極限的統(tǒng)一敘述[J]. 甘肅聯(lián)合大學學報：自然科學版.2013，27（3）;88.

[7]夏道行，吳卓人，嚴紹宗，舒五昌.實變函數論與泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社.2010.

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1.感知素材，形成清晰表象。

概念教學首先是引入概念，概念如何引入，將直接關系到學生對概念的理解和接受。在引入過程中，要注意使學生對所感知材料加以觀察、分析或通過語言文字形象描述。建立表象的關鍵在于學生觀察所提供的材料時，能否抓住事物的共性。例如，一位教師在教學“三角形的認識”時，準備了4厘米長的小棒3根，3厘米、2厘米、9厘米長的小棒各1根，先請學生用9厘米長的小棒去搭三角形，學生發(fā)現(xiàn)：隨便配上哪兩根小棒都不能搭成三角形，為什么呢？學生認為：這根小棒太長了，其余兩根小棒太短了?！叭绻阉鼈儞Q掉，能搭成嗎？”學生積極嘗試，結果搭成了各種三角形。孩子們興趣盎然，積極主動地投入到操作活動中，在親自操作中做出有序的觀察，獲取了有效的信息，初步感知了三角形的特征。教師為學生提供的學習材料，及時讓學生領悟了數學的思想和觀念，學會了用數學語言交流，培養(yǎng)了實事求是、嚴謹認真的科學態(tài)度，讓學生在體驗中感知，形成了清晰、準確的表象。

2.分析探究，建立概念模型。

教師除了提供豐富、準確的感性材料讓學生形成鮮明的表象外，還必須在此基礎上，引導學生分析和探究比較它們的屬性，并及時抽象出共同的本質屬性；引導學生主動參與概念從具體到抽象的概括過程，建立起數學概念的語言和形式上的模型。我在教學“分數的意義”一課時，為幫助學生建立分數的概念模型，安排了如下的活動。

師：把8支鉛筆平均分給2位同學，每位同學得到的鉛筆數是多少？

生：4支。

師：把10支鉛筆平均分給2位同學，每位同學得到的鉛筆數是多少？

生：5支。

師：把所有的鉛筆平均分給2位同學，每位同學得到的鉛筆數是多少？

生：。

師：如果把它平均分給5位同學呢？10位呢？50位呢？如果是100支鉛筆呢？1000支鉛筆呢？500本練習本呢？

這樣做溝通了具體數量和抽象數量之間的聯(lián)系，讓學生深刻感知把一個整體平均分的含義，幫助學生有效地建立了分數的概念模型（把文具盒里的鉛筆平均分給幾位同學，每位同學得到的鉛筆數就是幾分之一）。這樣學生就在老師有意識、有計劃的指導下掌握了學習數學的方法，增強了學習能力。

3．錯例比較，理解概念意義。

現(xiàn)代教學論主張“學生要想牢固地掌握數學，就必須用內心的創(chuàng)造與體驗來學習數學”。因此，有效的數學學習在于讓學生自己去發(fā)現(xiàn)，教師可以創(chuàng)設情境引導發(fā)現(xiàn)。我在學習完長方體的長、寬、高之后，設計了這樣一個問題：利用小方塊擺長方體，并說說是怎樣想的。

生1：我是這樣擺的（圖1）。（絕大部分同學都是這樣擺的）

生2（遲疑地）：我這個長方體（圖2）好像和別人不一樣。

師提問：你更傾向于哪種觀點，是不是長方體？（學生紛紛舉手表決回答）

生3：它是不完整的，沒有6個面、12條棱和8個頂點，不是長方體。

生4：我們組在擺的時候是緊扣長、寬、高來的，我們覺得只要擺出相交于同一頂點的三條棱的長度，就能確定這個這個長方體的大小了。

生5：我反對，他們講的不是長方體，性質已經變了。

生6：我們知道它雖然不完整，但根據長、寬、高是完全可以想象出來的??！

生7：……

對于學生在課堂上出現(xiàn)的錯誤或是認知矛盾，我沒有急于解釋、下定論，而是把錯誤拋給學生，把錯誤作為一種教育資源，引導他們從正反兩面去修正錯誤，給他們一些研究爭論的時間和空間。對于片段中的問題爭論的結果已顯得不那么重要了，學生在爭論中分析、反駁，在爭論中明理，在爭論中內化知識，從而形成學習智慧。這樣的課堂呈現(xiàn)出“萬紫千紅春滿園”的景色，學生在情境中生動地實踐、體驗、探究，盡可能地去重新經歷知識的形成過程，在這個過程中體驗和領悟、探究和發(fā)現(xiàn)、把握和發(fā)展。這一富有創(chuàng)造性的設計促使學生獲得成功體驗，豐富了審美情感，使學生感受到智慧的力量，增強了學生的自豪感與自信心。

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一、創(chuàng)設情境來激發(fā)學生學習的興趣

很多小學生之所以不喜歡數學，可以從主觀以及客觀兩個角度來進行分析。第一就是因為很多學生因為年齡較小所以其注意力較差，并且沒有持久性，這樣課堂教學就會很難達到其預設的目標。客觀原因就是因為數學知識較為抽象并且很多抽象知識都是十分枯燥的，所以很多學生對于數學知識難以激起興趣。所以就可以利用信息科學技術來把數學知識變得生動有趣，從而實現(xiàn)小學數學教育中趣味性以及知識性的結合。比如說在多位數的寫法這一節(jié)數學課中，傳統(tǒng)的教學方式去教導怎樣去寫多位數，這種講課方式很容易導致學生轉移注意力，在課后只能通過死記硬背的方式來加強記憶。但是在引入了信息技術之后，就可以利用多媒體技術來播放視頻，在視頻中插入多位數來進行播放，比如說中國的國土面積有960萬平方公里，有13億人民，在播放視頻之后老師可以提問哪個學生可以寫出視頻中提及的數字，然后再對如何進行多位數的書寫進行教學，不僅可以進行數學知識的傳達，還可以激起學生熱愛祖國的熱情。

對于信息技術在小學數學中的引入，還可以通過圖像文字聲音以及動畫等結合來調節(jié)課堂氣氛，同時激發(fā)學生們學習的興趣，比如說在對三角形的面積這一節(jié)課程進行教學，可以充分的利用多媒體技術中的色彩以及動畫來對三角形進行旋轉展示，通過三角形在動畫中的平移以及不同組合可以形成不同的形狀，這種動靜結合的方式可以讓學生更好的理解三角形的特點以及性質，不僅有利于學生去觀察和思考三角形，還可以活躍課堂氣氛，激發(fā)學生的求知欲和積極性。

二、呈現(xiàn)數學過程來突出教學中的重點與難點

針對小學數學中的概念教學，讓學生知其然是不足夠的，最重要的就是讓學生知其所以然，這樣才可以讓學生去理解數學知識。比如說在對圓柱體的表面積進行教學中，就可以利用信息技術來演示，在動畫中切割圓柱體，讓學生更為直觀的了解圓柱體的構成，以及其面積的計算應該怎樣來進行。通過動畫的演繹學生可以得知圓柱體的表面積就是頂部與底部的兩個圓形以及中間的矩形，然后再通過慢動作的回放去展示矩形面積怎樣來計算。這種動畫的展示再結合現(xiàn)場的操作可以讓復雜的問題簡單化，同時加深學生對于知識點的記憶。

信息技術在小學數學中的應用與實驗展示比起來具備很多優(yōu)勢，盡管實驗展示具備更為直觀以及趣味性等特點，但是信息技術中的多媒體技術等可以具備跨時空等特點，比如說在上文中的圓柱體面積計算中，多媒體技術的展示可以去展示多個物體的運動，然后展示圓柱體的形成以及分裂，同時還可以通過對不同區(qū)域進行變色來讓學生更為了解。當然，在教學中通過信息技術與實驗的結合可以取得更好的效果，信息技術的引用并不意味著傳統(tǒng)教學手段的拋棄，而是兩者進行有效的結合。

三、動靜結合

在小學數學教學中利用信息技術來進行抽象和具象的轉化、動靜結合等可以讓學生更為直觀的感知抽象知識點。比如說在小學數學階段中對于平行四邊形的特點以及面積的計算。因為平行四邊形本身的重要性以及推算的難度等，是需要對此來進行設計以突破難點的。比如說利用信息技術來設計出平行四邊形，然后在四邊形中標記處高，然后利用動畫技術來移動高的位置，可以將平行四邊形分成一個三角形以及一個梯形，然后可以移動三角形的位置到梯形的另一側，這時學生就會發(fā)現(xiàn)其實平行四邊形就是矩形的變形而得來的，這樣就可以讓學生得知平行四邊形與矩形之間的關系，然后引導學生去思考這兩者之間在面積上的關系。學生通過觀察以及思考等就可以得知平行四邊形以及長方形之間的長是相等的，寬就是平行四邊形的高，這樣兩者之間的面積其實是相等的。這樣設計就可以充分的發(fā)揮出信息技術的優(yōu)勢。

四、辨析概念

數學概念就是在小學階段讓學生更為掌握數學知識以及提高其實際解決能力的基礎，但是因為很多數學概念都是非常抽象的，所以就會導致學生非常難以理解。比如說筆者在批閱試卷的時候會發(fā)現(xiàn)，很多學生都會把圖形的面積與周長之間的區(qū)別搞混，這是因為很多學生在對面積以及周長進行概念確定的時候都是通過死記硬背的方式來進行的，并不是在深入理解之后進行的定義。這樣就可以使用信息技術來加強理解，比如說可以使用閃爍效果來突出周長，通過顏色區(qū)別面積，這樣學生就會理解周長是閃爍的部分，而面積是變色的部分，這樣學生就會更為了解面積與周長之間的關系，通過概念的明確來從感性認識來上升到理性認識。

結語

根據上文的論述就可以看出把小學數學階段的概念學習與信息技術結合起來是很有意義的，因為既可以幫助學生提高學習興趣還可以充分的調動其積極性，并且可以活躍課堂氣氛，來突出學習重點和難點。通過動靜結合來進行學習，發(fā)掘出學生學習的潛力，拓寬其思維，起到優(yōu)化課堂教學效果的作用，讓學生可以更為輕松的學習數學概念。

【參考資料】

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1.運用填空法，培養(yǎng)概括的扼要性

有些概念單純用語言表達，語言元素較多，句子較長，對小學生來說，領會和運用起來不太便利。教學時，我們可以只要求學生理解，學會用語言完整表達，教者可以抓住要害，設計填空練習，讓學生突出地填寫部分關鍵性詞語，明白概念中的核心成分。

例如，教學乘法分配律時，可設計成填空的形式：“兩個數的和與一個數相乘，可以先把兩個加數（ ）相乘，再把兩個積（ ），這就叫做乘法分配律?！睂W生在真正弄懂了意思的基礎上，填成兩個加數“各自與這個乘數相乘”也好，“分別（單獨）乘這（一）個數”也好，都是不用計較的，不必強求一字不差的所謂“規(guī)范”表達。這樣做，既減少了冗長的敘述，降低學生概括表達的難度，又突出其中運算方法和順序變化這一核心內涵。教者設計的填空練習法，有利于引導學生對數學概念、規(guī)律和原理的快速理解，促進其概括能力的形成。

2.運用選詞法，培養(yǎng)概括的準確性

語言是思維的外殼。要正確領會數學概念，敘述的語言就必須準確。在引導學生學習數學概念時，教者要十分注重引導學生像學習語文那樣善于“咬文嚼字”“推敲詞句”。數學教師可以通過組織對相近詞多重選用的方法，來訓練學生把握數學概念、法則等結語的真切含義。選詞中不講百里挑一，起碼也得幾者挑一，求得準確用詞，培養(yǎng)學生概括思維的準確性。

例如，教學三角形概念，引導學生嘗試揭示概念本質時，可這樣板書：由三條線段（ ）成的圖形，叫做三角形。讓學生七嘴八舌地分別提出“組”“圍”“拼”“連”等幾個詞，然后再讓大家說說各自的理解，從中確認、選填一個合適的詞。這樣做，就能把三條線段的分離狀態(tài)、折線狀態(tài)、花束狀態(tài)、不等號形的交叉狀態(tài)與首尾依次相連的封閉狀態(tài)相區(qū)別。這樣既能準確概括，又能幫助學生學會運用概括思維中的比較、推敲，養(yǎng)成用詞審慎，務求形象與抽象相統(tǒng)一的確切思考表達。

3.運用比較法，培養(yǎng)概括的嚴密性

概念的限定是很嚴密的，稍有疏漏，就可能偏離本來的概念而成為另一個概念。比如，正方形與長方形、平行四邊形，正方體與立方體，等腰梯形與直角梯形等等。為了培養(yǎng)學生概括的嚴密性，可以把兩個或幾個相似的概念放在一起，引導學生填空或選詞，作比較理解，加強認識。這種比較有利于學生同時掌握多個概念。

其實，選詞法本質上也是比較，只不過不是比較不同的概念，而是比較提供給同一概念的不同詞語。如，教學小數的性質，教師引導學生概括概念時，可以出示類似語文、美術教學的留空（布白）式板書：小數的（ ）添上或去掉“0”，小數的大小不變。讓學生各自從“后面”“末尾”“中間”和“最后”等幾個詞中選填一個，這就是在詞語的比較中使學生正確地概括和理解小數性質精確的意義，體會可以變動的“0”的確定位置，明確地否定與“末尾”相近的其他表達的具體形態(tài)，在思想上劃清界限，提高概括思維的清晰程度，加強思維的嚴密性。

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一、 認知主義學習觀與教學觀

對傳統(tǒng)的中學數學概念教學的反思數學概念的教學是數學教學中非常重要的一個環(huán)節(jié)。數學概念相對比較抽象，難以把握，教材中一般只給出數學概念的定義，省略了形成過程，給學生學習造成了一定困難，Ⅲ所以教師的教學觀念和方法就顯得特別重要。當前一大部分中學數學教師存在這樣的傳統(tǒng)教學觀念：（1）把知識看成是定論，重結果輕過程；（2）把學習看成是知識從外到內的輸入，重灌輸輕引導；（3）低估了學習者的認知能力、知識經驗及其差異性，重“教”輕“學”；（4）在教學中表現(xiàn)出了過于簡單化的傾向。

（一） 認知主義的數學學習觀與教學觀

用認知主義學習理論指導數學教學就形成了認知主義的數學學習觀和數學教學觀。

（二） 認知主義的數學學習觀

數學學習觀是指對數學學習本質的認識，認知主義認為：數學學習是一個主

動的、積累的、建構的、診斷的、情境化的具有目標導向的過程（Shuell，1988）。

數學學習不會自動地產生，而需要學生進行大量的、高密度的心理活動。這些活

動涉及學習者對已獲得知識進行意義歸屬；將新知識整合到已有的知識結構中或

智力模型中。此外意義學習是有目標導向的。

二、 高中數學教學概念的特征

數學概念具有很多其他學科概念不具備的特性，數學概念作為一種思維形式，反映著事物內部的本質特質，其具有雙重性與抽象性的特征.在使用符號化與形式化的數學語言后，數學概念也更加抽象，高度抽象的概念都是在具體模型之上

建立的.數學概念的描述有必要借助符號化的語言，很多意思不能用漢字直觀的表示出來，因此，強調符號的作用，可以將抽象化的數學概念形式化.數學概念也具有很強的系統(tǒng)性，概念之間的聯(lián)系也較為廣泛直接，學生可以在學習小概念的基礎上，逐步擴充知識面，對整個知識體系有一個系統(tǒng)的了解.數學概念是在不斷更新與發(fā)展的，因此，在高中數學的教學過程中，有必要提高概念教學的重視度，讓學生對高中數學概念有個較為系統(tǒng)且深刻的掌握，為今后數學學習奠定基礎。

概念，是人們對事物本質的認識，是邏輯思維的最基本單元和形式u J.概念是人們用于認識和掌握自然現(xiàn)象之網的紐結，是認識過程中的階段.思維要正確地反映客觀現(xiàn)實的辯證運動，概念就必須是辯證的，是主觀性與客觀性、特殊性與普遍性、抽象性與具體性的辯證統(tǒng)一.概念還必須是靈活的、往返流動的和相互轉化的，是富有具體內容的、有不同規(guī)定的、多樣性的統(tǒng)一心1.人類對真理的認識，是在一系列概念的形成中，在概念的不斷更替和運動中，在一個概念向另一個概念的轉化中實現(xiàn)的.恩格斯說：“在一定意義上，科學的內容就是概念的體系.”而數學的定理、法則、運算的邏輯基礎就是數學概念，它是解決數學問題的基礎和重要工具，同時，高中的概念明顯比初中的增加很多，因此，強化概念教學是建立理論體系的中心環(huán)節(jié)和解決問題的前提，高中數學教師為了提高教學效果，對其必須予以重視.下面談一些數學概念教學中應注意的問題。

三、在體驗數學概念產生的過程中認識概念

數學概念的引入，應從實際出發(fā)，創(chuàng)設情景，提出問題：通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識，通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性。如在“異

面直線”概念的教學中，教師應先展示概念產生的背景，如在長方體模型中，當學生找出兩條既不平行又不相交的直線時，教師告訴學生像這樣的兩條直線就叫做異面直線，接著提出“什么是異面直線”的問題，讓學生相互討論，嘗試敘述，

經過反復修改補充后，給出簡明、準確、嚴謹的定義：“我們把不在任何一個平面上的兩條直線叫做異面直線”。在此基礎上，再讓學生找出教室或長方體中的異面直線，最后以平面作襯托畫出異面直線的圖形。學生經過以上過程對異面直線的概念有了明確的認識，同時也經歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗。

四、在挖掘新概念的內涵與外延的基礎上理解概念

新概念的引入，是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。如三角函數的定義，經歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程：（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數的定義；（2）用點的坐標表示的銳角三角函數的定義；（3）任意角的三角函數的定義。由止己慨念衍生出：（1）三角函數值在各個象限的符號；（2）三角函致線；（3）同角三角函數的基本關系式；（4）三角函數的凼象與性質；（5）三角函數的誘導公式等二可見，三角凼數的定義在三角函數教學中可謂重中之重，是整個三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用?！澳サ恫徽`砍柴工”，重視概念教學，挖掘概念的內涵與外延，有利于學生理解概念。

結語

概念教學是數學教學的重要組成部分，為提高高中數學概念教學的深度與廣度，提高學生對概念學習的重視度，本文從概念教學的路徑進行分析，提出了三種概念教學的方式，從概念的實際教學意義出發(fā)，希望能通過概念教學，提高學生學習數學的興趣度，提升高中數學教學的整體質量與水平.，在概念教學中，要根據課標對概念教學的具體要求，創(chuàng)造性地使用教材。對教材中干擾概念教學的例子要更換，對脫離學生實際的概念運用問題要大膽刪去，優(yōu)化概念教學設計，把握概念教學過程，真正使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創(chuàng)造，達到認識數學思想和本質的目的。

參考文獻：

[1] 楊帆 高中數學概念教學應注意的幾個問題[期刊論文]-遼寧師專學報（自然科學版）2009，11（3）.

[2] 王世明 高中數學概念教學[期刊論文]-讀寫算：教育教學研究2011（41）.

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近年來，隨著教學改革的不斷深入，不斷挖掘學生潛能，培養(yǎng)綜合能力成為教學的主要目標。然而，目前高中數學課堂教學中，仍然以傳統(tǒng)的教學模式為主，尤其是在概念教學過程中，大部分教師只重視概念結論而忽略教學本身，這種教學理念和方式一定程度上限制了對學生自主學習的培養(yǎng)[1]。因此，如何激發(fā)學生的學習興趣，表現(xiàn)學生的主體地位，是高中數學教師在數學教學過程中亟待解決的問題。

1 數學概念和探究式學習的特點

1.1 探究式學習

探究式學習主要是指從現(xiàn)實生活或學科領域中進行主題的選擇和確立，在教學過程中，通過創(chuàng)建教學情境，讓學生通過實驗、調查、操作等，探索問題，發(fā)現(xiàn)問題，并進行交流和表達，使其在探索過程中學習知識、獲得能力，表達情感和態(tài)度[2]?？傊?，探究式學習具有自主、開放、合作、過程等特點。

1.2 數學概念

數學概念是培養(yǎng)學生學習數學基礎知識和技能的核心，具有體驗過程的直觀性、定義過程的嚴謹性等特點，使學生在數學學習過程中充分了解相關數學概念和實際應用，并將其延續(xù)到后期的學習過程中。高中數學教育的課程目標主要是讓學生理解數學概念，掌握其發(fā)生的背景和具體應用，在不同形式的探究活動、自主學習中發(fā)現(xiàn)和體驗數學概念得到的過程。

2 探究式高中數學概念教學的過程

探究式數學概念教學的主要流程包括：情景模式的設置，數學概念的探索，討論探究，概念的建立，遷移應用，對概念進行拓展，交流分析，對過程的反思。在探究式教學過程中需注重對教學情境的設置，強調學生的自主學習，鼓勵學生進行互相合作和學習，以激勵為主，對學生的探究學習結果進行合理評價。在高中數學教學中，利用探究式教學方法對提高學生的數學學習能力具有重要意義，使學生的主動參與意識和自身的綜合素質均得到一定的提高。此外，在教學過程中，還要求老師統(tǒng)籌組織能力以及扎實的教學基本功，積極投身到探究式教學方法的創(chuàng)新過程中，致力于形成和諧的師生關系[3]。

3 探究式學習在高中數學概念教學中的具體應用

本文以人教版高一數學第二章《函數》的教學為例，通過問題式引導的探究式概念教學方式，對函數的概念進行感知、分析、概括、建立聯(lián)系以及總結的過程，并對“函數”概念式教學的體會進行簡要的闡述。

3.1 對概念的產生進行探究和感知

數學概念的形成具有過程性。對一個數學概念進行課堂教學時，應當從具體到抽象，對概念進行循序漸進地講解。首先，可以為學生提供豐富的感知材料，或者從數學概念在實際生產發(fā)展和解決實際問題中出發(fā)，列舉應用數學概念的具體生活實例，以數學研究中出現(xiàn)的問題和矛盾為出發(fā)點，設立教學情境并提出漸進性問題。在學生對具體材料進行感知、觀察、實驗操作等步驟時，可以對數學概念具有一個感知印象。例如，在“函數”概念的引入過程中，教師可以對學生已有的相關數學知識結構進行激活，幫助學生對舊知識進行回顧，并進行相關回顧性學習，使學生構建出和函數相關知識結構的整體，設置的教學問題可以是：

問題1：同學們回憶一下在初中學習過程中有沒有學習過函數模型，有哪些？大家怎么理解函數的定義呢？

問題2：想想自己的日常生活中有什么是和函數息息相關的，列出幾個相關的函數例子來，大家以小組討論的形式探討下各種函數模型之間具有的關系是什么？（讓學生互相交流觀點，合作思考）。

問題3：對下面幾個案例進行觀察，可以用已經掌握的函數定義對變量間的函數關系進行構建。是不是能用解析式對其進行分析呢？

例①：在某次數學考試過程中，某班學號1-5的同學分數分別為90、92、92、89、96。

例②：一枚子彈發(fā)射后，經過5s時間集中目標靶，子彈的射程為182米，子彈射出的距離m隨時間t的變化規(guī)律是：s=25t-3t2。

例③：大氣臭氧層近幾年的變化情況如圖1。

3.2 體驗概念的形成過程

讓學生對數學概念進行概括是體驗式數學概念教學的重要組成步驟，讓學生在對具體材料事物感知的基礎上，對材料進行進一步的比較、分析、歸納、概括，并逐步完成對概念的形成。老師在教學過程中，可以通過問題式引導學生對函數屬性進行概括，幫助學生對函數概念的逐步認識。

3.3 描述并明確概念

數學概念通常是由簡潔、嚴謹的文字或符號描述，一字之差可能會變成截然不同的概念。因此，在描述和明確函數概念時要培養(yǎng)學生良好的數學閱讀習慣和嚴謹的思維。對函數公式y(tǒng)=f（x）結構形式屬性進行分析時，教師可以對公式中的關鍵詞、符號的意義、定義域等對學生進行提問。

3.4 函數概念的應用

明確函數概念后，應對概念中圖形、語言、符號等不同表示之間的聯(lián)系進行探究，才能讓學生透徹認識到函數的整體性。如函數概念形成后探究下列問題：

問題1：值域、定義域、對應關系三者之間有什么聯(lián)系？

問題2：初中和高中所學的函數定義的相同點和不同點是什么？他們之間有什么聯(lián)系？

4 結語

總之，在高中數學概念教學中應用探究式學習方法，可以較好地培養(yǎng)學生對數學學習的興趣。在高中數學教學過程中，加強學生對數學概念形成過程的探索，有助于激發(fā)學生對新知識的探求欲望，培養(yǎng)其不斷提出新問題，解決新問題的熱情。使學生在學習高中數學時，從被動接受轉變?yōu)樽詣犹剿?，促進學生數學成績以及綜合素質的提高。

參考文獻

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1.有關“數”的概念教學內容分析

“數”主要包括數的意義和數的運算[2]。數的概念主要包括整數、小數、分數、百分數、負數等。引入概念是概念教學的第一步，教師應從小學生看得見、摸得著的生活實際入手，合理運用實物、圖表等直觀教具，采取小學生動手操作等方法，幫助學生獲得正確、完整、豐富的直觀表象，把抽象的數學知識與學生日常生活中熟悉的、具體的事物聯(lián)系起來，既易于學生理解，又能激發(fā)學生的思維能力和求知欲望。比如，“分數的初步認識”的教學，為了說明是“誰”的幾分之幾，教師可用不同形狀和大小的圖形作為教具，把它們分別折出二分之一，既讓學生明白什么是二分之一，又知道雖然都是二分之一，卻表示不同的大小。為此，教師一定要重點說明是“誰”的二分之一。

教師在數學概念的引入中，必須注重舊知識的鋪墊。任何一個數學概念都不是突然出現(xiàn)的，它是從以往概念中逐漸演變而來的。舊概念是新概念的基礎和推理依據，新概念是舊概念的深化和延伸。比如，教師可以從整除的概念引出約數和倍數的概念，繼而導出公約數及最大公約數的概念等。

2.有關“代數”的概念教學內容分析

代數是研究數字和文字的代數運算理論和方法[3]。代數早在古代就已經發(fā)明了，當算術需要解決大量的各種數量關系問題時，尋求一種更加實用、普遍的方法就成為一條重要途徑，通過不懈的追尋和努力，以解方程原理為中心問題的初等代數就應運而生?！皵蹬c代數”不僅是小學數學教材的重要內容，而且貫穿于整個數學教學的全過程，是學好數學的基礎性工程?！皵蹬c代數”通常包含：數與代數的基本概念、數的運算法則、以字母表示數、代數式及其運算、方程和函數等。小學數學教材中，將“式與方程”安排在第二學段，其目的就是要使學生更早地領會字母表示數的意義，并在實際應用中了解等量關系并能用字母來表示這種關系。隨著小學生逐步進入更高的年級，其思維水平和理解能力均有不同程度的提高，從以往具體形象思維階段逐步向抽象邏輯思維階段發(fā)展，對代數知識的認識也會上升到新的高度，同時滲透一定的函數思想，為以后中學數學學習奠定基礎。

對于小學生來說，方程一般會透著幾分神秘的色彩。因此，小學代數教學必須從最基本的概念入手，再通過簡易方程概念的講解，使小學生明白數學問題也可以通過代數方法來解決[4]。小學階段一般用算術方法來解決數學計算問題，按照加減乘除四則運算規(guī)則，通過數量關系來列出算式。算術方法的基本特征是通過已知數按照一定的數量關系列出算式，經加減乘除運算求出要求的數量。比如：小麗的哥哥和姐姐分別送她幾本書，其中哥哥送了她5本，她現(xiàn)在一共有13本書，那么姐姐送她幾本呢？如果用算術方法來計算，則可以列出算式：13-5= 。如果用方程來解決，則要設字母X 為姐姐送的書數，通過數量關系可以列出方程：X+5=13?？梢钥闯觯阈g方法與方程解決問題的思路有區(qū)別，算術方法是已知總數和一部分來求另一部分，而方程是用部分加部分等于總體的思路列出等式，將未知數與已知數一起運算來求出X的值。如果要解決的問題較為復雜，那么用方程列等式求解的優(yōu)勢將更為明顯。方程的主要特征就是將未知數和已知數同等看待，將未知數用字母表示，這就是代數思維，其與算術思維有著本質區(qū)別。

二、 “圖形與幾何”中概念教學內容的分析

1.有關“平面圖形”的概念教學內容分析

在小學數學中，平面圖形的概念多數是通過抽象概括而形成的，主要涉及現(xiàn)實生活中的物體形狀、大小、位置關系等。由于平面圖形概念本身具有復雜性和抽象性等特點，加之小學生接受和理解能力所限，導致學習過程中會存在一定的困難。普遍來看，目前在平面圖形概念教學中，通常會存在講解概念機械照搬、揭示概念內涵不深、分析概念應用不直觀等問題，導致學生理解掌握概念比較吃力，靈活應用的差距就更大。因此，在實際教學中，教師應該根據概念本身的特點和學生的認知特點，備課時對課程進行精心設計，上課時對學生進行科學引導。

在平面圖形概念的教學中，教師可以提供一些直觀教具，使學生更容易理解概念的本質。比如“認識長方形和正方形”中，教師可以以現(xiàn)實生活中的長方形物品做示范，讓學生直觀感知長方形的特征。到學生動手體驗環(huán)節(jié)時，讓學生自己動手做一個長方形，教師可以讓學生借助自己做的長方形來觀察長方形有四條邊、四個角、四個頂點，進一步增強學生感知的效果，使學生能夠建立正確的空間觀念。當然，在平面幾何概念教學時，不應孤立地來教概念，而應將新舊知識聯(lián)系起來，將課堂知識和實際生活聯(lián)系起來，通過這種聯(lián)系的教學思路，引領學生以聯(lián)系的觀點來分析概念、掌握知識、解決問題。

2.有關“立體圖形”的概念教學內容分析

小學數學是一門系統(tǒng)性強、枯燥、抽象的學科，尤其是小學所學的立體圖形的體積和表面積。由平面圖形到立體圖形，是小學生空間觀念發(fā)展中的一次飛躍。但小學生的思維正處在從形象思維向邏輯思維過渡的階段，他們接納、理解抽象數學知識的能力有限。因此，立體圖形的教學應在平面圖形教學的基礎上進行拓展，使學生更容易接受。在“長方體和正方體的認識”教學中，在引導學生掌握長方體的基本特征之后，教師可以組織學生進行討論：長方體相對面為什么相等、相對的棱為什么相等？讓學生通過對教具摸一摸、比一比等方式來理解長方體的基本特征。既讓學生知道長方體的基本特征，又掌握了相對面的面積為什么相等、相對的棱長度相等等知識。通過這種實踐性教學，可以使學生很好地把握“認識”這一關鍵詞的內涵。

在立體圖形概念教學過程中，教師應充分利用積木等教具，指導學生先從外在形象上認識事物，在頭腦中形成一定的表象，再在此基礎上進行概括。有條件的學校，還可以利用多媒體手段來演示，使教學更生動、更直觀。比如，讓學生拼搭四個正方體積木，看他們能拼出多少種不同的立方體，并從不同的方向和角度觀察，探討各種立方體之間的不同特點，培養(yǎng)學生的空間思維能力和概括能力。教師在組織學生進行實際操作時，要重點處理好兩個方面的關系：一是“扶”與“放”。既要“扶”，也就是對學生的操作進行必要的指導，又要“放”，即為學生留出一定的探索時間和空間。能讓學生自己操作的就不演示、能讓學生自己完成的就不干預、能讓學生自己歸納的就不講解。二是“動”與“靜”。所謂“動”，就是操作活動的過程。既要讓學生明白要做些什么、怎樣做，又要讓學生知道想些什么、如何想。所謂“靜”，就是活動后的總結歸納過程。通過組織學生進行交流討論，引導學生把對立體圖形的感性認識上升到理性認識。更為重要的是，在“立體圖形”的概念教學中，教師給學生的不僅僅是得出教學結論，還有研究學習的方法。

三、 “概率與統(tǒng)計”中概念教學內容的分析

數學課程改革，將概率與統(tǒng)計納入小學數學教材，并作為一個單獨的領域來設置，這一舉措在某種程度上具有里程碑意義。因為通過“概率與統(tǒng)計”教學，使小學生能初步了解統(tǒng)計與概率的基本思想和方法，并逐步形成統(tǒng)計觀念，進而形成尊重事實、用數據說話的態(tài)度。同時，“概率與統(tǒng)計”教學還讓學生知道了隨機現(xiàn)象的概念，這對他們建立科學的世界觀和方法論有直接影響[5]。小學階段學習統(tǒng)計的主要內容是畫統(tǒng)計圖、求平均數。要認識某個隨機現(xiàn)象，就可以用到統(tǒng)計的知識。比如，某地區(qū)20年來的10月9日的天氣記錄里有15次是秋高氣爽，那么可以通過這一統(tǒng)計結果推測下一年10月9日是晴天的概率有多少。因為前20年10月9日這一天晴天的概率為75%，所以下一年同一天出現(xiàn)晴天的概率大約是75%。由此可見，通過合適的方法收集數據，并從統(tǒng)計學的角度進行分析處理，就可以從看似隨機的現(xiàn)象中找到某些規(guī)律性的東西。

在小學數學教材中，一般都是將“統(tǒng)計與概率”這兩部分內容融合在一起，主要有如下基本功能：一是知道數據在描述、分析、預測和解決日常生活中某些現(xiàn)象與問題的作用及價值；二是學會簡單的數據收集、分析、處理的基本方法，并提高利用數據的基本能力；三是會制作簡單的統(tǒng)計圖表，解讀一些隨機現(xiàn)象并預測其可能性。比如，100粒種子大約有80粒種子發(fā)芽，那么種子的發(fā)芽率大約為80%；某產品平均每千件中大約有20件廢品，則可以說該產品廢品率為2%。由于統(tǒng)計與概率的概念對于小學生來說還有些艱澀，因此在概念教學中應少用些專業(yè)術語，而經常用可能性來代替概率這個概念。比如，讓學生做20次拋擲硬幣的試驗，看看正面出現(xiàn)的可能性是多少，再引出概率的概念，如此更能讓學生易于接受和理解。

概念的應用是概念學習的最高層次，可以幫助學生在解決一些情境復雜的問題時，使已知概念在頭腦中相互作用、融會貫通，反過來又鞏固、完善和拓展概念[6]。在學習“統(tǒng)計與概率”的過程中，教師應注重提高學生的能力。比如：組織交流、探討活動，讓學生自己選題，如“同學們每天幾點鐘睡覺的”，“每天都有多少同學上課發(fā)言的”，“同學們喜歡看哪類動畫片”，“同學們喜歡什么運動”，“我們最喜愛的課程”，“我們最喜愛的游戲”……之后讓學生按選擇的題目進行分組，并調查收集相關數據，再用表格歸納整理，制成多種統(tǒng)計圖。例如，根據統(tǒng)計圖來看，如果喜歡某種運動的同學最多，那么可以根據這個統(tǒng)計結果，組織一次運動比賽，讓大家切身體會統(tǒng)計工作的作用，從而加深對這一概念的認識。他們還可以把這些圖表制成墻報、手抄報等，使同學們更有成就感。由此可見，“統(tǒng)計與概率”不僅是數學知識，還可以幫助學生提高運用統(tǒng)計和概率進行估算的能力。

綜上所述，促進小學生對數學概念的認識和掌握，是小學數學概念教學的根本目的和主要追求。鑒于小學生的整體認知水平和接受能力有限，小學數學教師必須根據小學生的特點和數學概念本身的特點，以科學的、發(fā)展的、聯(lián)系的觀點來精心備課和組織教學。要通過多種直觀、科學的方法，將教材中的數學概念轉化為小學生易于接受的模式，幫助學生在觀察、體驗、實踐和思考中直觀了解、深入剖析概念的本質屬性，以達到到良好的教學效果。

參考文獻

[1] 高俊生.小學數學教師“圖形與幾何”領域疑難問題分析[D].長春：東北師范大學，2012.

[2] 鐘鼎恒.小學數學教材“統(tǒng)計與概率”比較研究[D].武漢：華中師范大學，2013.

[3] 閆炳霞.小學數學“統(tǒng)計與概率”教學中的問題研究[D].重慶：西南大學，2007.