序論：好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇數(shù)學(xué)中的分析法范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

一、分析法的基本概念

分析法是從問題的結(jié)論出發(fā)尋求其成立的充分條件的證明方法.即先假定所求的結(jié)果是成立，分析使這個(gè)命題成立的條件，把證明這個(gè)命題轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么可以斷定原命題成立.我們稱之為“執(zhí)果索因”。

要證明命題：“若A則D”思考時(shí)可以由結(jié)論D出發(fā)向條件A回溯，先假定所求的結(jié)論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個(gè)原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進(jìn)行下去，最后達(dá)到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：

D？圯C？坩B？坩…？坩A

用分析法進(jìn)行證明，每一步推理都是尋找充分條件，最后找到要證命題的條件。就是說，每一對(duì)相連的判斷中，后者是前者的充分條件，這樣，聯(lián)成一個(gè)邏輯鏈時(shí)，才保證了由條件A到結(jié)論D.由傳遞律得出，A是D的充分條件，從而證明了命題“若A則D”.分析法的證明中，每一步都是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，此處的“需知”是倒推的“中途點(diǎn)”。

二、例析分析法

要證明命題：“若A則D”.思考時(shí)可以由結(jié)論D出發(fā)向條件A回溯.先假定所求的結(jié)論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個(gè)原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進(jìn)行下去，最后達(dá)到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：

篇（2）

做任何事情都需要講究一定的方法，用對(duì)了方法，才能事半功倍，把一件事情做得更好. 在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也是一樣的，分析問題和解決問題都需要正確的方法.

一、分析法概述

對(duì)分析法的運(yùn)用主要就是把整體的內(nèi)容分解為若干個(gè)部分，是一個(gè)從整體到局部，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的過程，再針對(duì)各個(gè)部分進(jìn)行分析和探究. 在數(shù)學(xué)中的一些證明題中，逆推法就是一種分析法，它的過程就是從一種結(jié)果追溯到產(chǎn)生這種結(jié)果的原因，不斷地追溯上去，一層一層地分析. 還有，在求多邊形的面積時(shí)，通常我們都是把多邊形分解成若干個(gè)三角形再進(jìn)行計(jì)算，這也是分析法運(yùn)用的一種形式. 分析法的運(yùn)用也可以把一個(gè)完整的過程分解成若干個(gè)有序的步驟，在我們所學(xué)習(xí)的列方程解應(yīng)用題中，就可以把解題過程分解成幾個(gè)步驟，如假設(shè)，找等量關(guān)系并列方程，解方程，檢驗(yàn). 通過完成每一個(gè)步驟來解決這個(gè)問題，可以讓整個(gè)過程變得更加清晰，容易理解.

二、分析法的應(yīng)用

分析法的運(yùn)用范圍很廣，在一些幾何類的證明題中，分析法的運(yùn)用具有非常明顯的特征. 下面我將舉例來說明分析法在解決問題的過程中該如何運(yùn)用，具體說來，就是要從數(shù)學(xué)題的特征和結(jié)論出發(fā)，一步步不斷探索，最終達(dá)到與題設(shè)和已知條件相關(guān)聯(lián).

例1 如圖1所示，點(diǎn)P是圓O外的一點(diǎn)，PQ切圓O于點(diǎn)Q，PAB和PCD是割線，∠PAC = ∠BAD. 求證：PQ2 = PA2 + AC·AD.

分析過程：根據(jù)已知條件，我們可以很容易得出PQ2 = PA·PB.

這樣，通過逐步地分析就把問題轉(zhuǎn)化成了我們所熟悉的求三角形相似的問題.

那么再根據(jù)已知條件，證明這兩個(gè)三角形相似. 連接BD，因?yàn)椤螾CA是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，所以∠PCA = ∠ABD. 又因?yàn)橐阎幸呀?jīng)給出的∠PAC = ∠BAD，所以APC∽ADB. 再把整個(gè)過程反過來書寫，命題得證.

例2 如圖，在ABC中，AB = AC，∠1 = ∠2，求證：AD平分∠BAC.

這是一道比較簡(jiǎn)單的證明題，但分析的方法還是一樣的.

分析過程：要證明AD平分∠BAC，就要得到∠BAD = ∠CAD.

由于這兩個(gè)角在不同的三角形內(nèi)，因此，就要證得ABD ≌ ACD，已知條件中已給出了AB = AC，AD又是公共邊，那么只要證得BD = CD即可. 要得到BD = CD，必須要該三角形的兩個(gè)底角∠1 = ∠2，而這剛好就是已知條件. 通過這樣的分析，思路明確了之后，寫出來就很容易了.

三、綜合法概述

綜合法與分析法可以說是兩種相逆的方法，但卻又是兩種有著密切聯(lián)系的方法. 綜合法運(yùn)用的具體過程就是要把事物中的不同部分，各個(gè)方面以及相關(guān)的要素綜合起來，從整體上來考慮. 也是根據(jù)已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的一種思維方法. 比如我們?cè)趯W(xué)習(xí)有理數(shù)的概念時(shí)，就需要把正整數(shù)，零，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)，綜合起來研究并形成有理數(shù)的概念，這樣我們對(duì)有理數(shù)的概念才能有更加深刻和清晰的理解. 綜合并不是把各個(gè)部分進(jìn)行簡(jiǎn)單機(jī)械的拼湊，而是要找出各個(gè)部分之間的相關(guān)性和規(guī)律性. 就比如說有理數(shù)，它包括很多個(gè)部分，而這些不同的部分之間的相同點(diǎn)就是它們都不是無限不循環(huán)的數(shù)，這也是相對(duì)于無理數(shù)而言的. 總的來說，綜合法的應(yīng)用過程是從已知條件出發(fā)，根據(jù)已知條件再進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪壿嬐评?，最后達(dá)到解決問題的目的.

四、綜合法的應(yīng)用

下面我們同樣以一道證明題來展示綜合法的具體運(yùn)用.

例3 如圖，在ABC中，AB = AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∠ADC = 130°，求∠BAC的度數(shù).

綜合法的分析過程：

從已知條件入手，把每一個(gè)已知條件發(fā)散出來，不斷地得出更多的條件.

根據(jù)AB = AC，以及AE是∠BAC的角平分線，可以得出∠DEC = 90°，又因?yàn)闂l件中的∠ADC = 130°，所以∠ECD = 40°.

篇（3）

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Exploration and Practice of the Discovery Teaching

Method in Mathematics Analysis Course

ZHOU Qiyuan， XIANG Xuyan， ZOU Qingyun

（Department of mathematics， Hu'nan University of Arts and Sciences， Changde， Hu'nan 415000）

Abstract Combining the characteristics of the course of mathematical analysis， Applying the discovery teaching method into mathematical analysis course is important to inspire the learning interests and voluntary learning consciousness of students and cultivate the abilities of problem-solving and team-work of students.

Key words mathematics analysis； discovery teaching methods； teaching reform； practice

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法亦稱假設(shè)法和探究法，是美國(guó)認(rèn)知主義心理學(xué)家布魯納提倡的一種啟發(fā)式的教學(xué)方法，是指教師在學(xué)生學(xué)習(xí)概念和原理時(shí)，不是將學(xué)習(xí)的內(nèi)容直接提供給學(xué)生，而是向?qū)W生提供一種問題情境，只是給學(xué)生一些事實(shí)（例）和問題，讓學(xué)生積極思考，獨(dú)立探究，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)的原理和結(jié)論的一種方法。①布魯納認(rèn)為，學(xué)生主要不是去發(fā)現(xiàn)人類尚未知曉的事物，而是去認(rèn)識(shí)人類幾千年來的認(rèn)知成果和歷史經(jīng)驗(yàn)。

1 對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)法教學(xué)的認(rèn)識(shí)

所謂數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，就是指借助教師和教科書向?qū)W生提出一系列精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題或作業(yè)，使學(xué)生在閱讀、觀察、實(shí)驗(yàn)、解題等過程中，親自去“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)的概念、定理和解題方法等，使學(xué)生成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”，以達(dá)到使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的體驗(yàn)和感悟，逐步形成學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的積極態(tài)度與情感，掌握學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的基本方法與技能，發(fā)展學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的能力的目的。②

2 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法在數(shù)學(xué)分析③教學(xué)中的探索與實(shí)踐

數(shù)學(xué)分析課程是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的主干課程，在培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力和推理論證能力、提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力和開拓學(xué)生的創(chuàng)新能力等方面都起著重要的作用。但長(zhǎng)期以來，數(shù)學(xué)分析的教學(xué)效果總是不能令人滿意。如何通過改革數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)，提高數(shù)學(xué)分析的課堂教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量一直是受關(guān)注的問題，近年來，也有不少學(xué)者做了這方面的研究。④⑤本文將從數(shù)學(xué)分析的概念教學(xué)、命題教學(xué)、解題教學(xué)、課后作業(yè)等方面嘗試進(jìn)行發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，促使學(xué)生成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”。

2.1 在數(shù)學(xué)概念的導(dǎo)入中實(shí)施發(fā)現(xiàn)教學(xué)法

建構(gòu)主義觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)不是簡(jiǎn)單地通過教師傳授到學(xué)生頭腦中去，而是要根據(jù)個(gè)人的操作、體驗(yàn)、感悟、交流，思維由淺入深，由低級(jí)到高級(jí)，由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)來主動(dòng)構(gòu)建，并通過反省來調(diào)節(jié)。⑥

關(guān)于定積分概念的建立，是通過求曲邊梯形的面積與變力所做的功而引入的。在求曲邊梯形面積時(shí)，是通過分割、近似作和得到其近似值。教學(xué)中通常是直接對(duì)曲邊梯形進(jìn)行塊分割，學(xué)生往往不得要領(lǐng)，我們從學(xué)生能解決矩形面積的計(jì)算與逼近思想出發(fā)，利用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，提出課題：曲邊梯形面積如何用對(duì)應(yīng)的矩形面積去近似代替而使得其誤差趨于零？引導(dǎo)學(xué)生將曲邊梯形中的連續(xù)曲線所在的邊用一條水平線段代替，就得到一個(gè)曲邊梯形面積的近似值，但誤差較大，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：若將該曲邊梯形分成兩塊，即在底邊上插入一個(gè)分點(diǎn)，每一塊都用矩形面積代替它，這時(shí)的誤差就會(huì)比前面的要小.設(shè)想：如果將這些曲邊梯形分成三塊（即插入2個(gè)分點(diǎn)）、四塊（即插入3個(gè)分點(diǎn)）、十塊（插入9個(gè)分點(diǎn)）、一百塊、一千塊……、無數(shù)多塊，這種誤差是不是會(huì)越來越小，最終趨于零？輔助多媒體演示，讓學(xué)生表述結(jié)論，學(xué)生不難得出結(jié)論：我們的設(shè)想是可行的，即當(dāng)分的塊愈多（即插入的分點(diǎn)越多），每個(gè)小矩形面積的和就越接近曲邊梯形的面積，從而小矩形面積的和就越接近曲邊梯形的面積。將此過程用準(zhǔn)確的符號(hào)語言來敘述并輔以多媒體演示，學(xué)生很自然地解決課題所涉及問題，同時(shí)也讓學(xué)生感知了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想。

這樣通過明確課題，揭示矛盾，分析矛盾有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻領(lǐng)會(huì)；有利于數(shù)學(xué)思想的滲透，同時(shí)也有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)“發(fā)現(xiàn)”思維的某些規(guī)律。

篇（4）

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。 而小學(xué)數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識(shí)系統(tǒng)，看不到由特殊實(shí)例的觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、抽象概括或探索推理的 心智活動(dòng)過程。 而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識(shí)系統(tǒng)。 因此，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使“數(shù)學(xué)方法”與“數(shù)學(xué)思想”結(jié)合，于無形之中讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候了解到解決問題的思路以及由來，從而培養(yǎng)學(xué)生的解決問題以及數(shù)學(xué)能力，從而學(xué)會(huì)獨(dú)立借用數(shù)學(xué)思想解決問題。正所謂“授之以魚，不如授之于漁”， 要讓學(xué)生知道如何解決這道題的同時(shí)，更知道解決問題的思想，從而受到啟發(fā)，能解決于此類似或相關(guān)甚至變換、延伸出來的問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)。

一、數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對(duì)象的兩個(gè)側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題，就是數(shù)形結(jié)合思想?！皵?shù)形結(jié)合”可以借助簡(jiǎn)單的圖形、符號(hào)和文字所作的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。它是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原則，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個(gè)重要特點(diǎn)，更是解決問題時(shí)常用的方法。

例如，我們常用畫線段圖的方法來解答應(yīng)用題，這是用圖形來代替數(shù)量關(guān)系的一種方法。我們又可以通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積等，這些都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

二、集合的思想方法

把一組對(duì)象放在一起，作為討論的范圍，這是人類早期就有的思想方法，繼而把一定程度抽象了的思維對(duì)象，如數(shù)學(xué)上的點(diǎn)、數(shù)、式放在一起作為研究對(duì)象，這種思想就是集合思想。集合思想作為一種思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)中就有所體現(xiàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。

如用圓圈圖（韋恩圖）向?qū)W生直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內(nèi)的物體具有某種共同的屬性，可以看作一個(gè)整體，這個(gè)整體就是一個(gè)集合。利用圖形間的關(guān)系則可向?qū)W生滲透集合之間的關(guān)系，如長(zhǎng)方形集合包含正方形集合，平行四邊形集合包含長(zhǎng)方形集合，四邊形集合又包含平行四邊行集合等。 　三、化歸思想

化歸思想是把一個(gè)實(shí)際問題通過某種轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，把一個(gè)較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè) 較簡(jiǎn)單的問題。應(yīng)當(dāng)指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”。它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。

例： 狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳4 1／2 米，黃鼠狼每次可向前跳2 3／4米。它們每 秒種都只跳一次。比賽途中，從起點(diǎn)開始，每隔12 3／8米設(shè)有一個(gè)陷阱， 當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí)，另 一個(gè)跳了多少米？

這是一個(gè)實(shí)際問題，但通過分析知道，當(dāng)狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進(jìn)陷阱時(shí)，它所跳過的距離即是它每 次所跳距離4 1／2（或2 3／4）米的整倍數(shù)，又是陷阱間隔12 3／8米的整倍數(shù)，也就是4 1／2和12 3／8的“ 最小公倍數(shù)”（或2 3／4和12 3／8的“最小公倍數(shù)”）。針對(duì)兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰先掉 入陷阱，問題就基本解決了。上面的思考過程，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)實(shí)際問題通過分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)求“最小公倍數(shù)”的問題，即把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，這種化歸思想正是數(shù)學(xué)能力的表現(xiàn)之一。

四、極限的思想方法

極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識(shí)無限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)，了解它有重要意義。

現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透。在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無限多個(gè)，讓學(xué)生初步體會(huì)“無限”思想；在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，1÷3=0.333…是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的，是無限的；在直線、射線、平行線的教學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生體會(huì)線的兩端是可以無限延長(zhǎng)的。

那如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透呢？

篇（5）

一、分層教學(xué)的必要性

班級(jí)內(nèi)，學(xué)生群體上，個(gè)體間的差異普遍存在，而且多種多樣，諸如智力差異、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差異、學(xué)習(xí)品質(zhì)差異、學(xué)習(xí)態(tài)度差異、學(xué)習(xí)目的差異、學(xué)習(xí)環(huán)境差異等等。心理學(xué)的研究結(jié)果表明：學(xué)生的學(xué)習(xí)能力差異是存在的，特別是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力方面存在著較大的差異這已是一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)。造成差異的原因有很多，學(xué)生的先天遺傳因素及環(huán)境、教育條件都有所不同，還有社會(huì)因素（即環(huán)境、教育條件、科學(xué)訓(xùn)練），這些原因是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的形成起著決定性作用，所以學(xué)生所表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)能力有明顯差異也是正常的。教育要面向班級(jí)每一個(gè)學(xué)生，每一個(gè)學(xué)生都有獲得知識(shí)和享受應(yīng)有教育的權(quán)利。班級(jí)教學(xué)不能“放棄”任何一名學(xué)生，不能只針對(duì)某一個(gè)層次的學(xué)生，但又要滿足每一個(gè)層次學(xué)生學(xué)習(xí)和進(jìn)一步提升的需要。初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求學(xué)生分層次提高，進(jìn)而達(dá)到班級(jí)學(xué)生的最優(yōu)化組合。按照教育家達(dá)尼洛夫關(guān)于教學(xué)過程的動(dòng)力理論之說，認(rèn)為只有學(xué)生學(xué)習(xí)的可能性與對(duì)他們的要求是一致的，才可能推動(dòng)教學(xué)過程的展開，從而加快學(xué)習(xí)成績(jī)的提高，而這兩者的統(tǒng)一關(guān)系若被破壞，就會(huì)造成學(xué)業(yè)的不良后果?！胺謱咏虒W(xué)”，實(shí)際是在大班教學(xué)的背景下，將學(xué)生依據(jù)學(xué)習(xí)情況分成幾個(gè)不同的層次，在此基礎(chǔ)上，對(duì)不同的學(xué)生開展不同的教育，實(shí)行不同的教學(xué)方法、制定不同的教學(xué)目的、采用不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，從而努力使不同程度的學(xué)生在班級(jí)學(xué)習(xí)中，都能在自己已有的程度下獲得知識(shí)的進(jìn)一步提升，實(shí)現(xiàn)班級(jí)教學(xué)水平的整體提升。

二、分層教學(xué)的過程

備課時(shí)，教師認(rèn)真研究教材，抓住問題的本質(zhì)，了解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過程，設(shè)置合理的認(rèn)知層次：形象記憶性內(nèi)容設(shè)為第一梯級(jí)，保證后進(jìn)學(xué)生“吃得了”；抽象理解性內(nèi)容為第二個(gè)階梯，使中等學(xué)生“吃得好”；知識(shí)擴(kuò)展性內(nèi)容為第三個(gè)梯級(jí)，滿足優(yōu)等學(xué)生“吃得飽”。 作業(yè)是鞏固和提高學(xué)生所學(xué)知識(shí)的中要途經(jīng)。針對(duì)不同層次的學(xué)生，布置不同的作用，才能避免差生在難題面前的受挫和無奈，也能避免優(yōu)等生對(duì)大量基礎(chǔ)題的趣味索然，使不同類型的學(xué)生都能在作業(yè)中得到自己所需的：鞏固，還是提高，都能給以滿足。

“分層次”教學(xué)法在遵循由淺入深，由易到難的一般講課規(guī)律的基礎(chǔ)上，在知識(shí)和時(shí)間的安排上做了較大的改進(jìn)。就新授課而言，對(duì)于不同層次的學(xué)生，在不同的教學(xué)目標(biāo)下，應(yīng)該才用不同的實(shí)現(xiàn)手段，及教學(xué)方式。如，對(duì)于成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生，可以進(jìn)行探索式的教學(xué)方式，對(duì)其思維進(jìn)行更深層次的訓(xùn)練；而對(duì)于依靠努力取得成績(jī)的這一類稍差一點(diǎn)的學(xué)生，則不妨通過各類題型的講解以及拔高題目的訓(xùn)練，開拓其視野，使其掌握相對(duì)較深的解題思路；對(duì)于又差一點(diǎn)的學(xué)生，基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，則顯得十分重要。既要明確不同層次學(xué)生回答相應(yīng)層面的問題，又要激勵(lì)低層面學(xué)生回答高層面的問題，完成高組的任務(wù)。分層上課就是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，能兼顧各類層次的學(xué)生，讓其主動(dòng)參與獲得發(fā)展，克服過去單一教學(xué)的傳統(tǒng)模式，按照分層備課的歸類，在施教過程中得以完成。

篇（6）

數(shù)學(xué)分析論證法是一門源自實(shí)踐、應(yīng)用于實(shí)踐的解題方法.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)分析的主要對(duì)象就是函數(shù)，由于需要使用定義來解決問題，所以出現(xiàn)了一些局限性，但是使用分析論證法就能夠很好地解決這一問題。

一、分析論證法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.設(shè)置生活情境，銜接知識(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的聯(lián)系性與系統(tǒng)性，在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該以新課程標(biāo)準(zhǔn)為出發(fā)點(diǎn)，了解其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，并對(duì)這些問題進(jìn)行深入的分析。同時(shí)，要注意到，興趣是最好的老師，為了提升分析論證的效果，教師必須采取科學(xué)有效的方式激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為此，教師需要將數(shù)學(xué)教學(xué)與生活相聯(lián)系，設(shè)計(jì)與日常生活相關(guān)的情景，將數(shù)學(xué)問題具體化，讓學(xué)生感受到身邊的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而積極主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

以不等式的教學(xué)為例，不等式的難度不高，但是學(xué)生常常缺乏探索的興趣。為此，教師需要設(shè)置好具體的情景，鼓勵(lì)學(xué)生去感受，來體驗(yàn)日常生活與現(xiàn)實(shí)世界之中存在的不等式關(guān)系，從理性角度來思考，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納、類比與抽象。這樣不僅可以很好地激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主動(dòng)性，也能夠幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

2.注重解法的分析，加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系。仍然以不等式為例，不等式的解法與性質(zhì)是整個(gè)教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，而解法是一種十分重要的運(yùn)算能力，學(xué)生只有掌握好這種運(yùn)算能力，才能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用和創(chuàng)新。因此，教師要注意向?qū)W生展示分析論證的具體過程，不能孤立論證過程，要將其放在大環(huán)境中，加強(qiáng)不等式與三角、函數(shù)、數(shù)列、方程、解析幾何和立體幾何等知識(shí)的銜接。

篇（7）

多年教學(xué)實(shí)踐表明，凡是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)吃力的學(xué)生，多數(shù)屬于對(duì)極限概念理解不透徹。因此，數(shù)列極限概念的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的。數(shù)列極限概念的教學(xué)難點(diǎn)極限概念難以理解、掌握的原因在于：概念在教學(xué)這過程中涉及“任意”“給定”“無限接近”“存在”“趨向”等較抽象的術(shù)語。例如：當(dāng)x0時(shí)，sinx～x，tanx～x，1-cosx～■x2，ln（1+x）～x

一、極限的和（差）做等價(jià)無窮小替換

在通常情況下，等價(jià)無窮小替換只能在作積（商）時(shí)才能使用，在其他情況下不能隨便亂用；那么，等價(jià)無窮小的和（差）是否可以做等價(jià)替換？如果可以，那么，現(xiàn)在討論在什么條件下等價(jià)無窮小的和（差）分別能做等價(jià)替換？

定理1：設(shè)u（x），u1（x），v（x），v1（x），當(dāng)x？鄢為無窮小，u1（x）～u（x），v1（x）～v（x）且■■=A≠±1，則u1（x）±v1（x）～u（x）±v（x）

證明：■■=■■=■=1

推論：設(shè)u1（x），u11（x），u2（x），u22（x），…un（x），unn（x）當(dāng)x？鄢為無窮小時(shí)

u00（x）～u0（x），u11（x）～u1（x），u22（x）～u2（x）…unn（x）～un（x），且■■=A1≠±1，■■=A2≠±1，■■=An≠±1，則u00±u11±u22±…unn～u0±u1±u1±…±un

證明：■■=■=■=1

下面我們來看幾個(gè)例子：

例1.I1=■■如果用洛必達(dá)法求得正確解為■，若用等價(jià)無窮小代替得錯(cuò)解即I1=■■=■（因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，exsinx～xex

例2.I2=■■=■■=■■=1，若用等價(jià)無窮小替代得錯(cuò)解I2=■■=2（因?yàn)椤觥?-1不滿足定理1的條件）

例3.I3=■■=■■=0（錯(cuò)解，因?yàn)椤觥?1，正確解法請(qǐng)見華東師大數(shù)學(xué)分析第62頁。）

例4：I4=■■=■■=■■=-■

從例1、2、3我們可以觀察到：它們都不滿足定理1的條件即它們不滿足互不等價(jià)；而例4滿足定理1的條件，即可作等價(jià)無窮小替換的那兩個(gè)式子互不等價(jià)。所以，兩個(gè)（多個(gè)）無窮小做和（差）替換滿足的條件是它們分別作無窮小的等價(jià)替換的式子不等價(jià)。因此，和（差）作等價(jià)無窮小替換是有嚴(yán)格的條件要求的，不可以隨便作等價(jià)無窮小替換，否則，將會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論。

二、統(tǒng)一了兩個(gè)重要極限的1∞型極限的快速、準(zhǔn)確求法

先來看一個(gè)“1∞”型的例子，求■（cosx）■這是一個(gè)1∞型極限。我們用取對(duì)數(shù)的方法來解這一題。作恒等變形為（cosx）■=e■，則■■lncosx=■■=■■=-■，所以■（cosx）■=e■

請(qǐng)認(rèn)真仔細(xì)觀察這個(gè)解題的過程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)并能總結(jié)得到求1∞型極限的一半步驟：

1.判斷■uv是否為1∞型極限

2.若是1∞型

則（1）令■uv=ea

其中a=■（u-1）v

所以■uv=ea

這樣，我們把兩個(gè)重要極限統(tǒng)一到1∞型上來討論，減少了其中的恒等變形，形式變得簡(jiǎn)單，統(tǒng)一了解題方法，不但好記而且解題準(zhǔn)確率高，因此，用這種方法解決某些較難的1∞型極限從而變得輕而易得。

例1.■（■）■

解：令■（■）■=ea，則a=■（■-1）■■=■（■）■■=■■=■■=■

■（■）■=e■

例2.■（1+■+■）n

解；令■（1+■+■）x=ea，則a=■（1+■+■-1）x=■（1+■）=1

■（1+■+■）x=e，由此可得，■（1+■+■）n=e

例3.■cosn■

解：令■cosx■=■（cos■）x，令■（cos■）x=ea則a=■（cos■-1）?x=■■?x=-■

■cosx■=■ ■cosn■=■

例4.計(jì)算■■

解：由于■■=■（cos■）■，令■（cos■）■=ea，則a=■（cos■-1）■=-■■（■）2?■=-■

■■=■

例5.計(jì)算■■

由于■■=■（1+x2ex）■，令■（1+x2ex）■=ea，則a=■（1+x2ex-1）?■=■x2ex?■=■x2?■=2

■■=e2

從中可以看出這種解題方法的優(yōu)越性：不但思路清晰，步驟簡(jiǎn)單，而且對(duì)比較困難的題也容易得出結(jié)果，因此，熟練掌握后既能提高正確率，又能提高解題速度。

三、在某些情況下，用定積分的定義求極限，但是在有些情況下，若函數(shù)不能直接轉(zhuǎn)化為（*）式，也就不能直接運(yùn)用（*）式計(jì)算，因此要解決這個(gè)問題，我們要引用一個(gè)習(xí)題的結(jié)論，把它作為定理來用

若f（x）在[a，b]上可積，則可對(duì)區(qū)間[a，b]用某種特殊的劃分方法，運(yùn)用定義法得到一種極限和式，如果這種和式可以通過變形即■■■g（n）=■f（x）dx…（？鄢），這種轉(zhuǎn)化就是我們通常所熟悉求定積分的方法。下面我們來看兩個(gè)例子：

例1.求■n[■+■+…+■]的值

解：原式=■■[■+■+…+■]

=■[■+■+…+■]■

=■■■■=■■dx=■

例2.求■■[sin■+sin■+…+sin■π]的值

解：原式=■■■sin[■?■]，設(shè)f（x）=sinx，x∈[0，π]，且f（x）∈[0，π]，從而f（x）可積。

所以原式=■■■[sin■?■]=■■sinxdx=■

定理2.對(duì)數(shù)列{an}，設(shè)■an=a，則■■=■■■an=■an=a

證明TH2：因?yàn)椤鯽n=a，由極限的？著-N定義知，對(duì)任意的？著>0，存在正整數(shù)N1，當(dāng)n>N1，有│an-a│N1時(shí)，有│■│=│■│=│■│≤■（│a1-a│+│a2-a│+…+│aN■-a│+│aN■+a│+…+│an-a│）≤■N1?A+■≤■N1?A+？著，其中A=max{│a1-a│，│a2-a│，…│aN■-a│} 又■■=0，由極限的？著-N定義知，對(duì)給定的？著>0，存在正整數(shù)N2，使得當(dāng)n>N2，有│■-0│=■N1時(shí)，有│■-a│

例1.■■■■（1+■）■

這一題型可以用定理2來計(jì)算?！觥觥觥觯?+■）■=■■（1+■）■，令yk=（1+■）k，顯然，{yk}單調(diào)增加且與上界，故yk

■■■■（1+■）■=∞，0e

此結(jié)論的∞和0容易得到，在此我們只證明結(jié)論為e■的情況。

當(dāng)a=e時(shí)，令zx=[■（1+■）x]x，兩邊取對(duì)數(shù)得

lnzx=x[xln（1+■）-1]，下面計(jì)算■lnzx的值，由Taylor中值定理得，ln（1+■）=■-■+■+0[（■）3]，其中-1

通過對(duì)題型結(jié)構(gòu)認(rèn)真的觀察，適當(dāng)?shù)淖冃?，這是解決問題的必要步驟和關(guān)鍵所在，能夠起到事半功倍的效果，達(dá)到解決問題的目的。

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篇（8）

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）33-158-01

在傳統(tǒng)教育模式的影響下，現(xiàn)階段的初中數(shù)學(xué)教學(xué)絕大部分都是大班授課制度，此種教學(xué)方法雖然在我國(guó)教育發(fā)展史上起到了重要的推動(dòng)制度，但其對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)技能及知識(shí)水平的培養(yǎng)效果卻不是最佳的。因?yàn)閷W(xué)生的生理成長(zhǎng)狀態(tài)、智力、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力等各個(gè)方面都是具有差異性的，在這些差異性的基礎(chǔ)上大班授課制是無法滿足學(xué)生們的學(xué)習(xí)需求的，因此必須要有新的教學(xué)方法來改變這一教學(xué)現(xiàn)狀，至此分層教學(xué)法應(yīng)運(yùn)而生。分層教學(xué)法的出現(xiàn)不僅改變了初中數(shù)學(xué)的教學(xué)模式，更實(shí)現(xiàn)了新課程改革下實(shí)現(xiàn)學(xué)生全體進(jìn)步的教學(xué)目標(biāo)，正因如此分層教學(xué)法受到了初中數(shù)學(xué)教師的普遍關(guān)注與使用，并在實(shí)踐教學(xué)活動(dòng)中得到了不錯(cuò)的教學(xué)效果。

一、教學(xué)主體的分層

學(xué)生是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的主體，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中所有的教學(xué)活動(dòng)都是圍繞學(xué)生來展開的，所以在分層教學(xué)初期必須要先對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層，只有對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)、恰當(dāng)?shù)姆謱硬拍軌虮ＷC分層教學(xué)法的教學(xué)效果和有效性。筆者在采取分層教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)的過程中，首先在班級(jí)進(jìn)行了階段性小測(cè)驗(yàn)和問卷調(diào)查，小測(cè)驗(yàn)當(dāng)中主要分為基礎(chǔ)知識(shí)、難度問題以及靈活性問題三個(gè)部分，其測(cè)驗(yàn)的目的是為了掌握每一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握水平，現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。而問卷調(diào)查則是為了了解學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)，看看他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)知、學(xué)習(xí)興趣有多少。在此基礎(chǔ)上筆者將學(xué)生分為了A、B、C三個(gè)層次：A層學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，學(xué)習(xí)興趣濃厚，學(xué)習(xí)能力及思維靈活性強(qiáng)；B層學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)、有一定的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)能力及思維靈活性一般；C層學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不夠扎實(shí)、學(xué)習(xí)興趣不高，學(xué)習(xí)能力及思維靈活性較差。為了避免學(xué)生產(chǎn)生消極或自卑的心理，筆者在將學(xué)生進(jìn)行合理的分層后，與學(xué)生探討了自己的教學(xué)想法，并將各自的分層告訴他們，讓他們放下心理負(fù)擔(dān)，根據(jù)筆者的教學(xué)計(jì)劃來進(jìn)行學(xué)習(xí)，以期在教學(xué)活動(dòng)完成后收到良好的教學(xué)效果。

二、教學(xué)目標(biāo)的分層

教學(xué)目標(biāo)是在教學(xué)主體分層的基礎(chǔ)上來進(jìn)行的，其根據(jù)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)水平以及學(xué)習(xí)態(tài)度來為他們?cè)O(shè)定出具有實(shí)際意義的、且能夠完成的教學(xué)目標(biāo)。在這一環(huán)節(jié)當(dāng)中，筆者建議教學(xué)目標(biāo)設(shè)置的不要過難或過大，以免學(xué)生無法完成而對(duì)他們的學(xué)習(xí)自信和學(xué)習(xí)態(tài)度產(chǎn)生消極影響。根據(jù)不同層次學(xué)生的實(shí)際學(xué)校特點(diǎn)，筆者為他們?cè)O(shè)計(jì)了不同層次的教學(xué)目標(biāo)：A層學(xué)生以課外訓(xùn)練、實(shí)踐和突破為主，學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中，以達(dá)到學(xué)以致用的學(xué)習(xí)狀態(tài)；B層學(xué)生以課內(nèi)難度提升，解題思路的拓寬，思維邏輯性及敏捷性的提高為主，以達(dá)到能夠獨(dú)立解決中、高等難度習(xí)題的水平；C層學(xué)生以夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，樹立正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度等方面為主，以達(dá)到學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生正確的認(rèn)識(shí)和理解為主，進(jìn)而主動(dòng)的去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

三、教學(xué)內(nèi)容的分層

教學(xué)內(nèi)容的分層是整個(gè)分層教學(xué)活動(dòng)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，這一環(huán)節(jié)的教學(xué)分層工作會(huì)直接對(duì)整個(gè)分層教學(xué)的效果產(chǎn)生直接影響。在這一環(huán)節(jié)當(dāng)中教師必須要注意好對(duì)教學(xué)內(nèi)容難度的拿捏，根據(jù)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)水平以及為他們制定的教學(xué)目標(biāo)來由淺入深、由簡(jiǎn)至繁的對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分層，通過有效的課堂提問與習(xí)題訓(xùn)練，來設(shè)置好教學(xué)內(nèi)容的難度梯度，進(jìn)而達(dá)到對(duì)不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)。例如筆者在進(jìn)行因式分解的教學(xué)時(shí)就為學(xué)生做好了內(nèi)容分層：

例題：多項(xiàng)式m（n-2）-m2（2-n）分解因式等于（ ）

A.（n-2）（m+m2） B.m（n-2）（m+1）

C.（n-2）（m-m2） D.m（n-2）（m-1）

在這道因式分解題當(dāng)中，A層學(xué)生需要自己進(jìn)行運(yùn)算，來得出結(jié)果；B層學(xué)生則可以在4個(gè)選項(xiàng)當(dāng)中選擇出自己認(rèn)為正確的選項(xiàng)；而C層學(xué)生只需要在A與B兩個(gè)選項(xiàng)當(dāng)中進(jìn)行選擇就可以。這一樣不僅能夠節(jié)省教師在為不同層次學(xué)生準(zhǔn)備教學(xué)內(nèi)容的實(shí)踐，還能夠?qū)崿F(xiàn)利用同一個(gè)內(nèi)容來對(duì)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和學(xué)習(xí)能力的鍛煉，其效果可謂是事半功倍。

四、課后復(fù)習(xí)的分層

課后復(fù)習(xí)是整個(gè)分層教學(xué)過程中的總結(jié)階段，其雖不像前三個(gè)環(huán)節(jié)那樣會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果產(chǎn)生直接的影響，但其對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、端正學(xué)習(xí)態(tài)度、以及內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)力的影響也是非常重要的。筆者在課后復(fù)習(xí)分層環(huán)節(jié)當(dāng)中，對(duì)于A層學(xué)生筆者主要以難度實(shí)用性訓(xùn)練為主，以培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題及高難度數(shù)學(xué)問題的能力；B層學(xué)生筆者主要以課內(nèi)拓展訓(xùn)練為主，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯性思維及頭腦行靈活性；C層學(xué)生則主要是對(duì)例題同類型習(xí)題的訓(xùn)練和學(xué)習(xí)為主，讓學(xué)生加深對(duì)例題解題方法、解題思維以及解題切入點(diǎn)的鍛煉，切實(shí)提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

世界上沒有兩片相同的葉子，同樣也沒有兩個(gè)完全相同的人，所以學(xué)生之間存在的差異性是生理發(fā)展的必然規(guī)律。教師只有對(duì)學(xué)生之間存在的差異性給予充分的肯定，才能夠?qū)崿F(xiàn)教學(xué)工作當(dāng)中學(xué)生的共同進(jìn)步。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具有一定的邏輯思維能力，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會(huì)遇到一定的難度，在這種情況下，分層教學(xué)方法的使用非常有必要，其不僅能夠激發(fā)出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的進(jìn)步，還能夠幫助學(xué)生樹立起數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)信心，以便學(xué)生在未來學(xué)習(xí)過程中，即使遇到了難題也能夠從容的面對(duì)，并將其正確的解答出來。

參考文獻(xiàn)：

篇（9）

學(xué)生群體的層次化異步劃分是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的先決條件，對(duì)后續(xù)教學(xué)過程的設(shè)計(jì)和課后作業(yè)的安排都有著直接的影響.按照素質(zhì)教育和新課標(biāo)改革的教學(xué)大綱，將高中數(shù)學(xué)教育的最終目標(biāo)設(shè)置為底層的最小目標(biāo)、中層的基本目標(biāo)和高層的發(fā)展目標(biāo)這三種.與之相對(duì)應(yīng)的，將學(xué)生群體劃分為A、B、C三個(gè)層次.A組是成績(jī)相對(duì)較差，學(xué)習(xí)能力較低的學(xué)生.B組是學(xué)習(xí)成績(jī)中等，綜合素質(zhì)一般的學(xué)生.C組則是成績(jī)較好，各方面素質(zhì)水平都較高的學(xué)生.A、B、C三組學(xué)生的人數(shù)比重通常設(shè)置為2∶5∶3.

二、教學(xué)過程的層次化異步設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)是一個(gè)師生雙方彼此溝通、相互交流的教學(xué)過程.數(shù)學(xué)教師必須在課堂上充分調(diào)動(dòng)起學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，才能發(fā)揮出學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體性地位和主觀能動(dòng)性.要想實(shí)現(xiàn)這一理想化的課堂條件，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該全面考慮到不同層次學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容的不同掌握程度.在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)的知識(shí)內(nèi)容時(shí)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況選擇與之相適宜的教學(xué)內(nèi)容.

例如，在教授函數(shù)的幾個(gè)基礎(chǔ)概念時(shí)，數(shù)學(xué)教師可以在正式開始上課之前，向?qū)W生提出以下這些問題：

（1）函數(shù)在數(shù)學(xué)意義上的具體含義是什么？由函數(shù)中映射出的又是什么概念？

（2）為什么自變量x和因變量y會(huì)有一定的范圍限制？怎樣確定自變量x和因變量y的取值范圍？

（3）假設(shè)自變量x和因變量y的取值范圍分別是兩個(gè)集合，集合與集合之間可能存在怎樣的聯(lián)系？

（4）表示函數(shù)的方法有幾種？各種表示方法之間有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

（5）函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)還可以輻射到哪些其它的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)上？如何解決綜合型的函數(shù)應(yīng)用題？

這些問題的設(shè)計(jì)有難有易.數(shù)學(xué)教師在選擇學(xué)生進(jìn)行回答時(shí)，應(yīng)該有意識(shí)地將問題鎖定在不同層次的學(xué)生群體中.比如，問題1太過簡(jiǎn)單，不應(yīng)該由B組或C組的學(xué)生回答，而應(yīng)該留給A組的學(xué)生給出答案.問題2和問題3可以由B組的學(xué)生回答.而問題4和問題5則應(yīng)該讓C組的學(xué)生進(jìn)行解答.這種從易到難的問題設(shè)置，保證了全體學(xué)生都主動(dòng)參與課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的興趣與積極性，使得每一個(gè)層次的學(xué)生都能夠在回答問題的過程中樹立起學(xué)習(xí)的信心.

三、課后作業(yè)的層次化異步安排

高中數(shù)學(xué)教育中的課堂教學(xué)與課下練習(xí)是兩個(gè)相互獨(dú)立又有所聯(lián)系的有機(jī)部分.前期的課堂教學(xué)活動(dòng)有了層次化的異步設(shè)計(jì)，后期的課下練習(xí)活動(dòng)自然也應(yīng)該繼續(xù)層次化的異步安排.學(xué)生的課下練習(xí)活動(dòng)，主要是課后作業(yè)的完成過程.具體的安排方式就是為A組學(xué)生安排簡(jiǎn)單易懂的淺層次習(xí)題，幫助其在反復(fù)練習(xí)中鞏固基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí).為B組學(xué)生安排難易適中的中層次習(xí)題，幫助其在基礎(chǔ)訓(xùn)練后兼顧綜合應(yīng)用的數(shù)學(xué)題型.為C組學(xué)生安排難度較高的高層次習(xí)題，幫助其在完成課內(nèi)知識(shí)的學(xué)習(xí)之后，還能進(jìn)一步拓展數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新思維.

例如，在教授一元二次不等式的解題技巧時(shí)，數(shù)學(xué)教師可以針對(duì)學(xué)生群體的層次劃分，為學(xué)生布置三種不同的課后作業(yè).

第一種課后作業(yè)是簡(jiǎn)單的一元二次不等式求解問題，主要是為A組學(xué)生安排的基礎(chǔ)題型：

（1）4x2-4x>15；

（2）14-4x2≥x；

（3）x（x+2）

（4）-x2-2x+8>0.

第二種課后作業(yè)是求一元二次等式中自變量取值范圍的數(shù)學(xué)問題，主要是為B組學(xué)生安排的練習(xí)題型，難度適宜：

（1）y=x2-4；

（2）y=1x2+x-12；

（3）y=-x2+2x-1.

第三種課后作業(yè)是復(fù)合型的一元二次不等式問題，主要是為C組學(xué)生安排的拓展題型，解題思路較為復(fù)雜：

已知一元二次不等式kx2-2x+6k

篇（10）

一、前言

榱巳醚生掌握高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和方法，并熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思維考慮問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和方法探究的能力[1]，教師的教學(xué)方法、教學(xué)進(jìn)度和內(nèi)容廣度上都與初中的數(shù)學(xué)教學(xué)有很大的差異[2].面臨這些挑戰(zhàn)，很多高一新生無法適應(yīng)新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，沒有挖掘出一套適合自己的學(xué)習(xí)方法，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性低下，成績(jī)一落千丈.提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，關(guān)鍵在于教師正確的引導(dǎo)、善于運(yùn)用遷移理論以及提高課堂有效性，這對(duì)高一新生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有舉足輕重的意義.

二、提高高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的方法

（一）學(xué)生提高自身學(xué)習(xí)遷移能力

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)相互關(guān)聯(lián)，以前學(xué)過的知識(shí)是新知識(shí)的鋪墊，新知識(shí)是學(xué)過知識(shí)的延伸和拓展.數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，是經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的積累來逐漸獲得的[5].比如，學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離求解，有助于點(diǎn)到平面距離的求解；學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，有助于對(duì)周期函數(shù)的理解；學(xué)習(xí)了向量，那么，求解幾何中的距離、空間角等問題則能夠得心應(yīng)手.

學(xué)生培養(yǎng)遷移能力主要通過以下三個(gè)方面：

（1）建立自身的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單來說就是經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)和積累，學(xué)習(xí)者通過感知、理解、消化進(jìn)而存儲(chǔ)到大腦的記憶性的、相互關(guān)聯(lián)的陳述性、過程性和程序性知識(shí)[3].

（2）提高自身對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)概括水平.對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的概括一般分為三種：先一般，后特殊；先特殊，后一般；先廣義，后具體.其中的先廣義，后具體則運(yùn)用遷移的思維方法，把需要學(xué)習(xí)的材料，與之前學(xué)過的具有相同結(jié)構(gòu)特征的規(guī)則聯(lián)系起來，或者與生活中的現(xiàn)象聯(lián)系起來.例如，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)第一章的集合中元素的性質(zhì)時(shí)，我們可以這么思考：一個(gè)班的人數(shù)為一個(gè)確定的值，對(duì)于任何人，有兩種可能，即屬于這個(gè)班和不屬于這個(gè)班，這就生動(dòng)形象地闡述清楚了集合中各個(gè)元素的確定性.如果班里學(xué)生之間調(diào)換座位，這個(gè)班里還是那些學(xué)生，這個(gè)集體并沒有發(fā)生改變，這就說明了集合中元素的無序性.而班里的每名學(xué)生都是不同的人，這就說明了元素的互異性.

（3）巧用思維定式.思維定式既可以促進(jìn)也可以阻礙學(xué)生遷移能力的培養(yǎng).一般來說，在解決同類型數(shù)學(xué)問題時(shí)，思維定式起促進(jìn)作用.

總的來說，培養(yǎng)自身的學(xué)習(xí)遷移能力，有利于學(xué)生建立系統(tǒng)的知識(shí)體系，形成數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu).有助于學(xué)生們把所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N數(shù)學(xué)能力.

（二）教師提高課堂的有效性

在當(dāng)前教育制度下，數(shù)學(xué)教學(xué)存在著許多不可忽視的問題.為了“應(yīng)試教學(xué)”，有的教師講解每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要求達(dá)到全面、詳細(xì)，以至于平常上課時(shí)間不夠用，需要加班加點(diǎn)來完成教學(xué)；還有的教師講課追求速度，搞題海戰(zhàn)術(shù)，這樣導(dǎo)致教學(xué)效率以及學(xué)生學(xué)習(xí)效率低下，學(xué)習(xí)壓力過大.讓學(xué)生機(jī)械重復(fù)，使得部分學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)的心理，而且這種不講效率的落后教學(xué)模式，也打擊了部分教師自身教學(xué)的積極性.

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師有必要建立有效教學(xué)的意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生高效學(xué)習(xí)，以達(dá)到整個(gè)教學(xué)系統(tǒng)的良性和諧發(fā)展.

教師提高課堂有效性主要可以通過以下幾個(gè)方面進(jìn)行：

（1）培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.在對(duì)數(shù)學(xué)題的解答中，一題多解普遍存在，教師應(yīng)該多啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度思考，運(yùn)用不同的知識(shí)理論來解題[4].比如，在高中必修二的第二章的直線和圓的方程中，可以利用多種解法來求解，這樣，既能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，活躍課堂氣氛，同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生的解題技巧與能力.

（2）通過多題一解法幫助學(xué)生提高知識(shí)遷移能力.在數(shù)學(xué)課堂中，常常提到“通法”即“多題一解法”.教師在課堂中可以針對(duì)一道題，通過變換條件或結(jié)論來解決同一大類問題，促使學(xué)生切身體會(huì)到觸類旁通、應(yīng)用知識(shí)游刃有余的樂趣.比如，在高中數(shù)學(xué)必修五第三章的解含絕對(duì)值的不等式中，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法，簡(jiǎn)單明了.

（3）一題多變，提高學(xué)生活學(xué)活用的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新性思維.一題多變就是對(duì)一個(gè)問題進(jìn)行拓展延伸，這樣既可以使學(xué)生克服單一狹隘的思維方式，又可以增強(qiáng)學(xué)生收斂思維的能力.在教學(xué)中，進(jìn)行“一題多變”的訓(xùn)練，既可以規(guī)避孤立靜止地思考問題的局限性，也可以激發(fā)學(xué)生解題的興趣，使學(xué)生在聯(lián)想探索中創(chuàng)新思維，從而養(yǎng)成良好的求異思維能力與解題的應(yīng)變能力.

通過原題，可以延伸出其他具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題.這可以達(dá)到深刻挖掘習(xí)題的教育功能，培養(yǎng)學(xué)生靈活與綜合運(yùn)用知識(shí)的能力的效果.

三、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是更高層次的學(xué)習(xí)的墊腳石，同時(shí)也是其他科目和知識(shí)的學(xué)習(xí)的風(fēng)向標(biāo).學(xué)生本身作為學(xué)習(xí)的主體，應(yīng)當(dāng)有意培養(yǎng)自身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上更高的素養(yǎng)，善用知識(shí)遷移.教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和知識(shí)的傳授者，應(yīng)當(dāng)提高課堂效率，力求做到“授之以漁”，教學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其可持續(xù)性的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).為實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，為學(xué)生的終身發(fā)展謀出路.

【參考文獻(xiàn)】

[1]錢家凱.高中數(shù)學(xué)入門課――淺談高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)，2013（12）：44-46.

[2]喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010：33-35.