序論：好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇雞兔同籠教學(xué)反思范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

引言：著名的蘇聯(lián)教育學(xué)家蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過：不能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)步的課堂教學(xué)是毫無益處的，而且，如果課堂教學(xué)沒有實(shí)際作用，對(duì)教師和學(xué)生來說都是嚴(yán)重的損失。隨著我國(guó)社會(huì)水平和經(jīng)濟(jì)水平的不斷發(fā)展，新課改和素質(zhì)教育的觀念深入人心，對(duì)教師的教學(xué)方式也提出了更高的要求，教師必須順應(yīng)教改的步伐，轉(zhuǎn)變自己的教學(xué)思路。只有靈活多變的教學(xué)方式，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，同時(shí)也能夠提高教師的教學(xué)質(zhì)量。

一、“雞兔同籠”問題的解決

“雞兔同籠”問題早在一千五百多年前的《孫子算經(jīng)》中就出現(xiàn)了，而北師大版的小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)課本的“數(shù)學(xué)廣角”環(huán)節(jié)再現(xiàn)了這一題目?！半u兔同籠”問題表現(xiàn)出了我國(guó)歷史悠久的數(shù)學(xué)文化，解決這個(gè)問題能夠大大增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，能在一定程度上培養(yǎng)邏輯思維的能力?！半u兔同籠”問題貼近生活，具有很強(qiáng)的代表性。在以往的教材中，這類問題一般是針對(duì)水平較高的學(xué)生，用來鍛煉自己的能力，而新教材則把這道問題作為全體學(xué)生都能夠面對(duì)的問題。解決“雞兔同籠”問題有多種多樣的方法，例如假設(shè)法和列表法等，也表現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性。下面通過課堂上使用列表法解決“雞兔同籠”問題：

教師：大家通過了解這道題目，知道主要問題是什么嗎？

學(xué)生：題目告訴我們雞兔共有八只，腳共有二十六只，問雞和兔子各有多少只。

教師：大家可以先猜一下結(jié)果，也可以和你身邊的同學(xué)交流一下，比較一下答案。然后來列舉一下可能的情況。

學(xué)生：可能的情況有七只雞，一只兔子；六只雞，兩只兔子；五只雞，三只兔子；四只雞的話，就有四只兔子；三只雞，五只兔子；兩只雞；六只兔子；或者一只雞，七只兔子，這么多種情況。

教師：還有其他可能嗎。

學(xué)生：全部是雞或者全部是兔子。

教師：那么我們來分別計(jì)算上面的情況，看哪種情況下，腳的數(shù)量是二十六只。大家來計(jì)算一下。

學(xué)生：計(jì)算后得到的結(jié)果是有五只兔子和三只雞。

通過上述課堂教學(xué)的過程，讓學(xué)生自主的解決了“雞兔同籠”問題。這種方式加強(qiáng)了學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位。在解決問題的初始階段，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，發(fā)散自己的思維。然后讓學(xué)生列舉所有可能的情況，再引導(dǎo)他們通過計(jì)算得到正確答案。讓學(xué)生了解解決問題的基本思路和方法，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、“雞兔同籠”問題的教學(xué)反思

從小學(xué)數(shù)學(xué)“雞兔同籠”問題的解決過程中，可以引起數(shù)學(xué)教師的反思。第一個(gè)方面趣味是最好的老師，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，那么課堂教學(xué)基本成功了一半。通過靈活多變的教學(xué)方式，活躍課堂氛圍，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)課堂枯燥無味的氣氛，能夠大幅度激發(fā)學(xué)生的求知欲，而只有有了求知欲，學(xué)生才會(huì)主動(dòng)去了解問題，解決問題。通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生感受到解決問題帶來的快樂，滿足他們豐富的學(xué)習(xí)欲望，才能保證高漲的學(xué)習(xí)熱情。美國(guó)的教育學(xué)家通過研究證明，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)效果能夠成倍增加。孔子的《論語》中也提到過“知之者不如好之者，好知之不如樂之者”，只有激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，才能達(dá)到教學(xué)的最終目標(biāo)――快樂學(xué)習(xí)。但是，現(xiàn)今很多小學(xué)數(shù)學(xué)教師，雖然知道新課改和素質(zhì)教育的理念，但是仍然固步自封，不遠(yuǎn)轉(zhuǎn)變觀念，填鴨式的教學(xué)，造成課堂效率低下，浪費(fèi)時(shí)間，又阻礙了學(xué)生的發(fā)展，所以，激發(fā)興趣對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。

學(xué)無定法，掌握方法也是提高學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要因素。而課堂教學(xué)除了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情外，更重要的是讓學(xué)生掌握方法。在“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，就體現(xiàn)了以下兩種數(shù)學(xué)方法：

（1）檢查檢驗(yàn)：要保證得到的答案準(zhǔn)確，就要做好檢查和檢驗(yàn)。通過培養(yǎng)學(xué)生良好的檢查習(xí)慣，能夠揪出在解決數(shù)學(xué)題時(shí)出現(xiàn)的問題，保證答案符合題目要求。在教師引導(dǎo)學(xué)生自主解決“雞兔同籠”問題后，很多同學(xué)會(huì)將答案弄錯(cuò)，比如將雞和兔子的數(shù)量弄反了，這種情況是很常見的。所以，檢驗(yàn)是保證解題正確的重要方法。通過方程或者其他方法得到了雞和兔子的只數(shù)，還要通過計(jì)算總的腳的數(shù)量，來保證答案的正確性。檢查和檢驗(yàn)，是學(xué)生務(wù)必養(yǎng)成的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（2）數(shù)形結(jié)合：數(shù)學(xué)知識(shí)是比較抽象難懂的，而且小學(xué)生的知識(shí)水平認(rèn)知水平都還不高，對(duì)過于理論性的解題方式，很多都是一知半解。針對(duì)這個(gè)問題，在數(shù)學(xué)教學(xué)中就要采用數(shù)形結(jié)合的方法，教師可以使用符號(hào)、圖形來代替題目中的元素，通過題目中的條件將這些元素結(jié)合起來，就能很快得到答案。教師還可以利用現(xiàn)今普遍使用的信息化技術(shù)，通過計(jì)算機(jī)、課件讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加形象、易于理解，課件還能夠提供給學(xué)生視覺、聽覺上的全方位的接受知識(shí)的方式，能夠有效加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶。

小學(xué)生的思維方式還不是很成熟，而且正處在由形象思維向邏輯思維發(fā)展過度的階段，所以，這個(gè)階段接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，仍然具有較強(qiáng)的具體形象性。數(shù)學(xué)知識(shí)貼近生活，數(shù)學(xué)上的很多問題，都能夠用生活上的知識(shí)來解答，而我們也可以使用數(shù)學(xué)知識(shí)解答生活中的難題，所以，數(shù)學(xué)和生活是緊密結(jié)合的。數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)內(nèi)容都是來源于生活的，經(jīng)過知識(shí)性的凝聚和提高，成為專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生對(duì)來源于生活的數(shù)學(xué)知識(shí)接受程度最高，而且，在講解這部分內(nèi)容的時(shí)候，學(xué)生首先能夠通過自己在生活中的體驗(yàn)，了解這部分知識(shí)的大致內(nèi)容，基本相當(dāng)于預(yù)習(xí)，對(duì)接下來的學(xué)習(xí)有很大幫助。

結(jié)束語

綜上，通過小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的“雞兔同籠”問題教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)教學(xué)中仍然存在一定問題。在教學(xué)中，教師應(yīng)該使用多變的教學(xué)方法，活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，通過知識(shí)的生活化，讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)易于接受。這樣才能做好小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。

參考文獻(xiàn)：

篇（2）

【反思一】對(duì)于雞兔同籠問題，還有不同的解法嗎？

如果將猜測(cè)也當(dāng)做一種解法，那么教材里呈現(xiàn)的例1的解法，已經(jīng)有5種之多。

解法1（猜測(cè)法）：猜測(cè)哪一組雞兔數(shù)目的組合滿足題意，是3只兔、5只雞嗎？還是4只雞、4只兔？……

解法2（枚舉法）：按照雞的數(shù)目從最大（8只）到0來列舉所有可能的雞兔數(shù)目組合，從中找出滿足題意的數(shù)目組合。

解法3（假設(shè)引出腳數(shù)差）：假設(shè)全部是雞，通過腳數(shù)的差異找到兔子數(shù)，再得到雞數(shù)。

解法4（列一元一次方程求解）：略。

解法5（用“雞兔抬腳”的奇思妙想求解）：略。

這些解法大體上是按照從算術(shù)解法到代數(shù)解法的順序編排的，突出了代數(shù)解法的一般性。然而，對(duì)于這個(gè)問題，還有不同的解法嗎？作為教師，我們是否應(yīng)該儲(chǔ)備更多的解法呢？答案是肯定的。

比如，這個(gè)問題還可以用二元一次方程組來求解。設(shè)籠子里有雞x只、兔y只，則x+y=35，4 y+2 x =94。解之得到x=23，y=12。此外，當(dāng)然還有其他解法，教材為了突出代數(shù)方法的一般性，所以只呈現(xiàn)了一部分解法。再加上二元一次方程組需要等到初中才正式學(xué)習(xí)，所以，教材將這種解法省略掉了。

【反思二】“雞兔同籠問題”的教材編排體系如何？

盡管教材僅僅是將上面提到的各種解決方法當(dāng)作供學(xué)生“模仿”的例子，但我們作為教師，是不應(yīng)該停留在“模仿”的階段上，應(yīng)該善于拓展教學(xué)空間，儲(chǔ)備更多的知識(shí)，走得比教材遠(yuǎn)。正如俗話所說 “要教給學(xué)生一杯水，自己得先有一桶水”，我們要能統(tǒng)觀“雞兔同籠問題”在整個(gè)教材體系中的編排。

首先，在五年級(jí)上冊(cè)的第四章“簡(jiǎn)易方程”中，教材已經(jīng)在練習(xí)十三當(dāng)中設(shè)置了一道這樣的練習(xí)題：雞和兔的數(shù)量相同，兩種動(dòng)物的腿加起來共有48條，雞和兔各有多少只？在那里，學(xué)生主要是用方程來求解的，至于將代數(shù)方法和方程方法專門對(duì)比、深化，這是在六年級(jí)上冊(cè)才進(jìn)行的。而除了溝通算術(shù)解法與代數(shù)解法，我們還應(yīng)能夠預(yù)期由本章各種解法向中學(xué)階段二元一次方程組內(nèi)容延伸的前景。而這些知識(shí)聯(lián)系的空間，就是學(xué)生學(xué)科發(fā)展的空間。能否把握這個(gè)空間，是判斷教師學(xué)科知識(shí)水平的一個(gè)重要指標(biāo)。

【反思三】如何夯實(shí)學(xué)生學(xué)科發(fā)展的基礎(chǔ)？

課本設(shè)置的雞兔同籠問題類型的練習(xí)題，包括各種各樣的求兩樣事物各幾何的問題：龜鶴40只，腳112只；38人租大船和小船共8只，分別可載6人和4人；12人植樹，男生每人種3棵樹，女生每人種2棵樹，共32棵樹；自行車三輪車共10輛，26個(gè)輪子；籃球比賽3分球與2分球，張鵬投了15個(gè)進(jìn)了9個(gè)，共21分；大珠小珠共30個(gè)重266克，大珠單個(gè)重11克，小珠單個(gè)重7克；答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題扣6分，答10題得36分；37名學(xué)生分科技類小組和藝術(shù)類小組，科技類小組每組5人，藝術(shù)類小組每組3人，現(xiàn)分9個(gè)小組；有2分和5分硬幣共b枚，錢的總數(shù)為a元，兩種硬幣各幾何；花了231元買足球和籃球共6個(gè)，足球每個(gè)42元，籃球每個(gè)36元；100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭，大和尚一人3個(gè)，小和尚三人1個(gè)……這些題目涵蓋了各種生活情境。對(duì)此，教材的導(dǎo)向很明確，既要使學(xué)生佩服古人的奇思妙想和聰明才智，也要讓學(xué)生能夠在多種解決方法的探索和對(duì)比當(dāng)中認(rèn)識(shí)到解決問題策略的多樣性和代數(shù)方法的優(yōu)越性，從而促進(jìn)其邏輯推理能力的發(fā)展，鍛煉學(xué)生觀察、分析、推理和解決問題的能力。因而，通過解決這一系列問題，讓學(xué)生善于在不同的情境中把握問題的本質(zhì)，這顯然就是學(xué)生學(xué)科發(fā)展的基石，應(yīng)該成為一個(gè)最基本的教學(xué)要求。對(duì)此，我們又應(yīng)該如何把握呢？

首先，我們需要引領(lǐng)學(xué)生辨別雞兔同籠問題的本質(zhì)。比如，通過練十六中的這一道題目“盒子里裝著5分和2分的硬幣，一人從盒中任意取出硬幣若干，并說出硬幣的個(gè)數(shù)和總錢數(shù)，另一人來猜其中5分硬幣有幾個(gè)?！逼鋵?shí)能夠幫助學(xué)生獲得進(jìn)一步的精細(xì)化認(rèn)識(shí)：盡管這里的“5分”不是一個(gè)偶數(shù)（例題里的雞和兔的腳數(shù)都是偶數(shù)），但它仍然適用類似的解決方法。由此，可以延伸出例題當(dāng)中的“腳數(shù)”可以是任意整數(shù)的認(rèn)識(shí)。這樣就排除了奇（偶）數(shù)這個(gè)非本質(zhì)信息。類似的，關(guān)于搶答加分和扣分的問題，也讓學(xué)生對(duì)于“腳數(shù)”這個(gè)量的認(rèn)識(shí)得到拓展。這些類似的拓展信息，其實(shí)都不是解決這類問題的本質(zhì)。其次，我們需要讓學(xué)生明確，解決此類問題，關(guān)鍵就在于如何辨別問題中與例題中的“雞”“兔”相對(duì)應(yīng)的量，以及與“雞腳”“兔腳”相對(duì)應(yīng)的量，并能夠?qū)⒗}中的數(shù)量關(guān)系遷移到新的問題情境中。而只有“雞”“兔”相對(duì)應(yīng)的量，以及與“雞腳”“兔腳”相對(duì)應(yīng)的量，這四個(gè)量之間的關(guān)系及其聯(lián)結(jié)著的結(jié)構(gòu)，才是這類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)。只有把握了這個(gè)本質(zhì)結(jié)構(gòu)，學(xué)生才能獲得解決這類問題的一般經(jīng)驗(yàn)，這才是學(xué)生跨越“模仿”教師和例題，獲得學(xué)科能力發(fā)展的關(guān)鍵。因此，在教學(xué)當(dāng)中，我們不能僅僅帶領(lǐng)學(xué)生解完問題以后就戛然而止，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決這些眾多問題的過程進(jìn)行回顧與反思，將學(xué)生的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步升華到這個(gè)本質(zhì)結(jié)構(gòu)的理解上去。這就是我們需要幫學(xué)生夯實(shí)的“基礎(chǔ)”。

事實(shí)上，以上幾個(gè)方面包括了對(duì)教學(xué)內(nèi)容拓展空間的反思、對(duì)課程內(nèi)容編排體系的反思、對(duì)學(xué)生發(fā)展基點(diǎn)的反思，這樣的立體式思考，就構(gòu)成了對(duì)該教學(xué)單元的“解剖麻雀式”的思考，從而使我們獲得了對(duì)該單元課程內(nèi)容的整體把握。而這種思考的線索，無疑也能為我們對(duì)其他教學(xué)內(nèi)容的思考產(chǎn)生一定的啟發(fā)。

篇（3）

一、“雞兔同籠”解題方法

雞兔同籠問題的解題方法很多，有猜測(cè)法、畫圖法、假設(shè)法（假設(shè)都是雞、假設(shè)都是兔、假設(shè)都抬腿）、列表法（逐一列舉法、跳躍列舉法、取中列舉法）、代數(shù)法（一元一次、二元一次）等。每一種方法都各有優(yōu)劣，我們來介紹主要的幾種。

例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有8個(gè)頭，從下面數(shù)有22只腳。問：雞有幾只？兔有幾只？

1、假設(shè)法。

假設(shè)法是根據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論作出某種假設(shè)，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，明朗化，從而迅速找到解題思路。

（1）假設(shè)籠子里都是雞。若8只都是雞，一共有8×2=16（條）腿，比實(shí)際22條腿少了22-16=6（條）腿，少這8條腿是因?yàn)榘岩恢煌眉僭O(shè)成一只雞，每只就少4-2=2（條）腿，（即每只兔與每只雞的腿數(shù)之差），6條腿需要這樣的6÷2=3（只），這就是把3只兔假設(shè)成了雞，所以兔就有3只，雞就有8-3=5（只）。

（2）假設(shè)籠子里都是兔。若8只都是兔，一共有8×4=32（條）腿，比實(shí)際22條腿多了32-22=10（條）腿，多出的10條腿是因?yàn)榘岩恢浑u假設(shè)成一只兔就多了4-2=2（條）腿（即每只兔與每只雞的腿數(shù)之差），10條腿需要這樣的10÷2=5（只），這就是把5只雞假設(shè)成了兔，所以雞就有5只，兔就有8-5=3（只）。

（3）抬腿法。 假設(shè)籠中的雞兔訓(xùn)練有素，吹一聲哨，它們都各抬起一只腳，即還剩22-8=14（條）腿，再吹一次口哨，它們又抬起一只腳，即還剩14-8=6（條）腿。而此時(shí)雞一屁股坐地上了，兔子還有兩只腳站立著，所以兔子有6÷2=3（只），雞有8-3=5（只）。

2、列舉法。

列舉法也是數(shù)學(xué)中的通法，學(xué)生從不斷嘗試和調(diào)整中找到正確答案，從認(rèn)知上看，列舉法是學(xué)生比較容易掌握的方法。

（1）逐一列舉法。（從頭至尾，一個(gè)個(gè)列舉）

雞 8 7 6 5

兔 0 1 2 3

腳 16 18 20 22

（2）跳躍列舉法。（從頭開始，跳躍列舉。）

雞 8 6 5

兔 0 2 3

腳 16 20 22

（3）取中列舉法。（從中開始，左右列舉）

雞 4 5

兔 4 3

腳 24 22

3、代數(shù)法。

代數(shù)法，要求學(xué)生分析問題中的量，確定等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程，求解。對(duì)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和抽象思維能力有一定要求，因此為教學(xué)增加了難點(diǎn)。由于小學(xué)數(shù)學(xué)只涵蓋簡(jiǎn)易方程，因此二元一次方程不列入教學(xué)。

（1）一元一次方程：

解：設(shè)兔有χ只，那么雞有（8-χ）只。根據(jù)雞兔共有22只腳，那么有：

4χ+2（8-χ）=22 4χ+16-2χ=22 16+2χ=22

2χ=22-16 χ=3

雞:8-3=5(只) (亦可設(shè)雞為χ，那么兔就為（8-χ）只。而后列方程解。)

（2）二元一次方程：

解:設(shè)有雞χ只，有兔У只，則

χ+ У =8 ①

2χ+4 У =22 ②

②-2×①得

У=3，χ=5

二、“雞兔同籠”教學(xué)設(shè)計(jì)

雞兔同籠中的解題方法如假設(shè)法需要學(xué)生具有較高的抽象思維能力，因此教材一般都安排在小學(xué)高年級(jí)進(jìn)行。在教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生在感受“雞兔同籠”趣味性的同時(shí)，關(guān)注他們解題能力的提高。要引導(dǎo)學(xué)生在解決“雞兔同籠”問題的過程中建立數(shù)學(xué)模型，要讓學(xué)生體會(huì)到解題策略的多樣性以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。以下的教學(xué)設(shè)計(jì)就體現(xiàn)了上述特點(diǎn)。

（一）情景激發(fā) 揭示課題

大約一千五百年前，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載一道數(shù)學(xué)趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

【走進(jìn)數(shù)學(xué)趣題，利用情景激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，揭示學(xué)習(xí)課題。在教學(xué)過程中，給學(xué)生展示《孫子算經(jīng)》中雞兔同籠原題，讓學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)的魅力?！?/p>

（二）分析題意，嘗試畫圖。

例一：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有8個(gè)頭，從下面數(shù)有22只腳。問：雞有幾只？兔有幾只？

【雞兔同籠原題的數(shù)據(jù)較大，不適合剛接觸此種題型的學(xué)生，因此先用數(shù)據(jù)較為簡(jiǎn)單的例題，化繁為簡(jiǎn)、化難為易，有助于學(xué)生思考?！?/p>

同學(xué)們從題目中能獲得哪些數(shù)學(xué)信息呢？

【引導(dǎo)同學(xué)們捕捉雞兔頭數(shù)腳數(shù)等隱藏信息】

猜一猜，畫一畫

如下圖，每個(gè)圓圈代表一個(gè)頭。畫一畫，看看能不能猜出雞有幾只，兔有幾只？

【將猜想和假設(shè)并行，引導(dǎo)學(xué)生從用8個(gè)頭猜測(cè)，從22只腳來，讓學(xué)生思考其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，為之后的代數(shù)法作鋪墊。畫圖法的本質(zhì)是假設(shè)。假設(shè)是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它通過先假定一種情況，然后通過推導(dǎo)、驗(yàn)證來解決問題，在一定程度上將問題簡(jiǎn)單化。教學(xué)過程中利用畫圖假設(shè)，激發(fā)了學(xué)生興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的想象能和思考力?！?/p>

（三）理解不同，多樣解題。

例二：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有20個(gè)頭，從下面數(shù)有44只腳。問：雞有幾只？兔有幾只？

你覺得用列表的方法方便嗎？

【制造矛盾沖突，體現(xiàn)畫圖法、列表法的不方便，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考和探索，同時(shí)有利于引出新方法。】

“從上面數(shù)有20個(gè)頭，從下面數(shù)有44只腳”，你能根據(jù)其中的數(shù)量關(guān)系列出方程嗎？

【引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目中的數(shù)學(xué)關(guān)系列出簡(jiǎn)易方程，并在解題的過程中復(fù)習(xí)簡(jiǎn)易方程的解法，這就是代數(shù)的思想方法。這種思想方法會(huì)促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展，提高學(xué)生從題目中找到可利用的信息并進(jìn)行概括整理的能力?！?/p>

（四）親歷體驗(yàn)，激發(fā)興趣。

例三：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有6個(gè)頭，從下面數(shù)有16只腳。問：雞有幾只？兔有幾只？

每六個(gè)人分為一個(gè)小組，大家一起來體驗(yàn)一下“同籠”吧。

【讓每個(gè)同學(xué)身臨其境，體驗(yàn)假設(shè)法的思路，不僅讓同學(xué)們體會(huì)到數(shù)學(xué)課堂的樂趣，同時(shí)使學(xué)生更深刻的記住假設(shè)法】

A、假設(shè)全是雞，就請(qǐng)兔子抬起兩只前腳來。這樣，總腳數(shù)就少了16-2×6=4只，為什么呢？

每只兔子都抬起了2只前腳。那么，2只2只地添，添2次剛好4只腳。 其實(shí)就是一只兔子比一只雞多4-2=2只腳，用4÷2求出有2只兔子，最后用6-2求出有4只雞。

B、假設(shè)全是兔，就請(qǐng)雞撲騰出兩只來。這樣，總腳數(shù)就少了（ ）只，為什么呢？

每只兔子都抬起了2只前腳。那么，2只2只地添，添（ ）次剛好（ ）只腳。 其實(shí)就是一只兔子比一只雞多（ ）只腳，用（ ）÷（ ）求出有2（ ）只兔子，最后用（ ）-（ ）求出有（ ）只雞。

想一想：

1、籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有6個(gè)頭，從下面數(shù)有10只腳?？赡軉幔?/p>

2、籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有6個(gè)頭，從下面數(shù)有28只腳?？赡軉幔?/p>

3、籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有6個(gè)頭，從下面數(shù)有15只腳?？赡軉幔?/p>

【先用假設(shè)全是雞的解法，引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，再假設(shè)全是兔，讓學(xué)生自己思考，舉一反三，加深學(xué)生的印象。對(duì)于初次接觸“雞兔同籠”問題的學(xué)生來說，這樣的活動(dòng)不僅感到新鮮、有趣，而且能把握住“假設(shè)法”思路的本質(zhì)。從“想一想”中更是訓(xùn)練了學(xué)生想象能力和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣?！?/p>

（五）建立模型，優(yōu)化策略。

例四：小明的儲(chǔ)蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚,價(jià)值5.1元,1角和5角的硬幣各有多少枚?

【讓學(xué)生做相似的題型，旨在建立數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)思維內(nèi)化，靈活掌握解題技巧，舉一反三。以后遇到如如“龜鶴問題”、“坐船問題”、“門票問題”等，學(xué)生也都可以用雞兔同籠的解題方法式進(jìn)行。這樣，才能真正形成對(duì)雞兔同籠問題的構(gòu)題特征與解法思路有規(guī)律性的認(rèn)識(shí)?！?/p>

（六）全課反思，總結(jié)提升。

篇（4）

一、草圖引入，建立初步概念

師：請(qǐng)同學(xué)們看多媒體，一起讀一讀今天這節(jié)課我們學(xué)習(xí)什么內(nèi)容。（板書課題：“雞兔同籠”）

師：想一想，課題是“雞兔同籠”，說明今天所學(xué)習(xí)的問題一定跟什么和什么有關(guān)？

生1：跟雞和兔有關(guān)。

師：老師這里有一個(gè)與雞、兔有關(guān)的問題，大家想不想看一下呢？

多媒體出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭。

師：你們覺得這道題完整嗎？還差什么呢？

生2：不完整，還差問題。

師：現(xiàn)在老師再給你們一個(gè)問題——“雞和兔各有多少只”，那你認(rèn)為雞和兔會(huì)各有多少只呢？

師：還有其他的可能性嗎？把所有的可能性在小組內(nèi)說一說。

二、草圖列表，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.列表法

師：為了直觀地表示出雞和兔可能有的只數(shù)，你們認(rèn)為應(yīng)該畫一個(gè)什么來表示呢？

生3：畫一個(gè)表格。

師（出示表格）：為了能在排列的時(shí)候不重復(fù)、不遺漏，你們覺得在排列的時(shí)候不僅要考慮到雞和兔一共有8只，還要注意什么？

生4：有序排列。觀察一下剛才填好的表格（如下），你能從中找到本題的答案嗎？

師：現(xiàn)在老師再給你們一個(gè)條件——“從下面數(shù)有26條腿”，你們又能想到什么呢？

師：說明這道題不僅和雞、兔的只數(shù)有關(guān)，還和它們腿的條數(shù)有關(guān)，所以在排列時(shí)還應(yīng)該列出每種情況下它們一共有多少條腿。

師：小組合作完成下面的表格。

師：說一說，第一個(gè)空應(yīng)該填一共有多少條腿，為什么？

生5：第一個(gè)空應(yīng)該填16，因?yàn)槊恐浑u有2條腿，所以一共有8×2=16（條）腿。

生6：第二個(gè)空應(yīng)該填18，因?yàn)槊恐浑u有2條腿，每只兔子有4條腿，所以一共有7×2+1×4=18（條）腿。

……

師：觀察你們填好的表格，又發(fā)現(xiàn)了什么？

師：像這樣，采用列表的方法，不重復(fù)、不遺漏地寫出所有可能的答案，這種逐一列舉的方法在數(shù)學(xué)中稱為列表法。

師：如果雞和兔一共有一百多只，它們的腿一共有幾百條的時(shí)候，你們認(rèn)為用列表法能找出答案嗎？同時(shí)，你覺得用列表法解決數(shù)據(jù)較大的問題時(shí)會(huì)如何？

生7：能找出答案，但是數(shù)據(jù)較大時(shí)比較麻煩。

師：現(xiàn)在我們根據(jù)上述題目就來探討有沒有其他的解題方法。

三、草圖假設(shè)，減少復(fù)雜

師：為了能夠找到更快捷的解決方法，首先思考一下，上面表格中的8和0是什么意思？

生8：就是有8只雞和0只兔。

師：那我們現(xiàn)在就假設(shè)籠子里面全是雞，籠子里一共有8×2=16（條）腿，而實(shí)際上有26條腿，這樣籠子里就少了26-16=10（條）腿，這說明什么？

生9：說明籠子里不可能全是雞。

師：假設(shè)算出的結(jié)果和實(shí)際的結(jié)果相差10條腿，說明這10條腿是受什么的影響？

生：兔。

師：剛才我們?cè)诒砀窭锩嬗^察到，兔的只數(shù)每減少1只，雞的只數(shù)每增加1只，它們一共的腿數(shù)就會(huì)減少幾條？

生10：2條。

師：也就是說，這10里面有幾個(gè)2，就把幾只兔當(dāng)成雞算。那到底是幾只兔呢？

生11：應(yīng)該是5只兔，因?yàn)?0÷2=5。

師：知道兔子的只數(shù)，那雞的只數(shù)又應(yīng)該怎樣求呢？

生12：雞的只數(shù)為8-5=3（只）。

師：哪位同學(xué)能大膽地到黑板上板書一下過程，并把你的思路口述給大家聽呢？

師：如果假設(shè)全是兔，又應(yīng)該怎么算呢？請(qǐng)大家動(dòng)手試一試。

四、鞏固草圖，學(xué)以致用

出示題目：自行車和三輪車共10輛，總共有26個(gè)輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

師：用你喜歡的方法完成本題，并在小組內(nèi)匯報(bào)你的答案和解題思路。

五、回顧草圖，反思提升

師：本節(jié)課我們學(xué)了哪些知識(shí)？你還有什么疑問？

五、課后思考，拓展延伸

出示題目：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94條腿。雞和兔各有幾只？

師：你能用方程解或其他方法解決這類問題嗎？課后動(dòng)手試試。

六、草圖運(yùn)用，作業(yè)提升

（1）52名同學(xué)去劃船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各幾只？

（2）100個(gè)和尚吃了100個(gè)面包，大和尚1人吃3個(gè)，小和尚3人吃1個(gè)。求大小和尚各有多少人？

師：收集一下，還有什么方法可以解決“雞兔同籠”的問題？

……

【課后反思】

通過對(duì)這節(jié)課的6個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)踐，我獲得了如下的啟示：

一、怎樣進(jìn)行草圖操作，是真正充分展示學(xué)生的思維過程

《新標(biāo)》指出：課堂教學(xué)要充分暴露學(xué)生的思維。此是眾所周知的，那是不是如第二次試教那樣：從探討最差的開始，先展示只有1種的，再展示2種的……就是充分地暴露了學(xué)生的思維過程了呢？答案是否定的。關(guān)鍵在于我要想方設(shè)法用草圖主動(dòng)地展示學(xué)生的思維歷程。展示學(xué)生的思維過程并不是必須將學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)、思維結(jié)果一覽無余地陳列在他人面前，更確切的就是讓學(xué)生能主動(dòng)地經(jīng)歷從不完善到完善的思維過程，這樣才實(shí)現(xiàn)由形式地展示學(xué)生的思維過程到實(shí)質(zhì)地經(jīng)歷。本節(jié)課主要著眼于學(xué)生能力的培養(yǎng)，通過創(chuàng)設(shè)自主學(xué)習(xí)的空間，引導(dǎo)學(xué)生通過課前自學(xué)、課上思考、討論合作、交流匯報(bào)等活動(dòng)，了解“雞兔同籠”問題，體驗(yàn)和感受古代數(shù)學(xué)問題的趣味性，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

二、怎樣步步緊扣，才能充分發(fā)激發(fā)學(xué)生的思維動(dòng)力

草圖的設(shè)置是指向的主體應(yīng)是思考者（學(xué)生）本身，只有這樣，學(xué)生才會(huì)積極去思考，才能充分激發(fā)學(xué)生的思維動(dòng)力。同時(shí)，問題的措詞要注意技巧性，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和心理特點(diǎn)。同樣為了引發(fā)學(xué)生類比他人的優(yōu)點(diǎn)尋找自己的問題所在，試想，如問：你覺得你哪些方面做得不夠？問題直接指向去尋找學(xué)生本人的短處，我想學(xué)生思考的積極性就會(huì)大大降低，而改為問：比較你的想法和他的想法，你有什么想法？問題的開口度較大，學(xué)生既可以反思自己的不夠，努力的方向，及自己的所思所得。他們想的不是自己的不夠之處，而是自己的一種感悟和啟發(fā)，思維的深度是前者遠(yuǎn)遠(yuǎn)所不及的。

三、通過草圖引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力與價(jià)值

篇（5）

例如，我們組織小數(shù)教學(xué)后備骨干教師進(jìn)行的一次“磨題”互動(dòng)中，就以著名的“雞兔同籠”問題為研究的素材，進(jìn)行了一次深入的研究。

一、弄清什么是“雞兔同籠”

老師們通過查閱資料了解到“雞兔同籠”問題是我國(guó)古代著名趣題。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

還了解到日本人又稱“雞圖同籠”為“龜鶴問題”（龜鶴共有100個(gè)頭,350只腳，龜、鶴各多少只？），在俄羅斯有人稱其為“人狗問題”（一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走。數(shù)頭一共是十二，數(shù)腳一共四十二。人、狗各多少？）

二、獨(dú)立探究，尋求多種解法

為便于計(jì)算，我們改變了數(shù)據(jù)出示了這樣一道例題：雞兔同籠共8只，數(shù)腳共有22只，雞、兔各有多少只？讓大家來共同研究。

首先，讓教師們自行解答，由他們自主探究不同的解法，力求多種解法！其次，大組交流各自的解法，由主持人將解法一一板書下來，便于梳理和對(duì)比。因此出現(xiàn)了以下多種豐富的解法。

解法一：畫圖法。假設(shè)8只都是雞，畫8個(gè)圓圈表示8只雞頭，每個(gè)圓圈下再畫2只腳，而題目中說是22只腳，還少6只腳，所以將其中的三只雞在添上2只腳，這樣就補(bǔ)全了22只腳。這種方法，稱為畫圖補(bǔ)腳法。

解法二：列表法。因?yàn)殡u兔共有8只，所以通過列舉出：“雞的只數(shù)” 、“兔的只數(shù)” 和 “腿的只數(shù)”也可以求到雞、兔各有多少只。

解法三：方程法。設(shè)雞有x只，那么兔有（8-x）只，可列出方程2x+4(8-x)=22,從而求到雞、兔的只數(shù)。

解法四：假設(shè)8只都是雞，則腳的只數(shù)是16只（8×2），比實(shí)際的少了6只（22-16），那么就必須用兔子去換雞，一只兔換掉一只雞就會(huì)多出兩只腳（4-2），那么，少掉的6只腳就必須用3只兔子去換3只雞，即6÷（4-2）。

解法五：假設(shè)8只都是兔，則腳的只數(shù)是32只（8×4），比實(shí)際的多了10只（32-22），那么就必須用雞去換兔子，一只雞換掉一只兔就會(huì)少掉出兩只腳（4-2），那么，多出的10只腳就必須用5只兔子去換5只雞，即10÷（4―2）。

三、加強(qiáng)交流，享受不同的解讀

老師們?cè)诹信e出五、六種解法之后并未停止，而是進(jìn)一步對(duì)列舉出的解法進(jìn)行了深入地思考，出現(xiàn)了不少精彩的解讀。

1. 對(duì)應(yīng)于解法一，有老師提出了畫圖去腳法，即先畫成8只兔，然后逐步去掉2只腳就得到了雞的只數(shù)。

2. 對(duì)應(yīng)于解法四，有老師是這樣解讀的。讓每只雞兔都具有“特異功能”，雞飛起來，兔立起來，這時(shí)立在地上的腳全是兔的，它的腳數(shù)就是22-8×2=6只，因此兔的只數(shù)有6÷2=3只，進(jìn)而知道雞有5只。雞兔具有“特異功能”――想得巧！

3. 對(duì)應(yīng)于解法五，有老師是這樣解讀的。把每只雞的兩個(gè)翅膀也當(dāng)作腳，那么每只雞就有4只腳，與兔的腳數(shù)相同，則雞兔共有腳8×4=32只，多了32-22=10只腳，這就是雞的翅膀數(shù)，所以雞有10÷2=5只，兔有8-5=3只。把雞翅膀當(dāng)作腳――想得妙！

4.還有老師是這樣想的：讓每只雞都一只腳站立著，每只兔都用兩只后腳站立著，那么地上的總腳數(shù)只是原來的一半，即11只腳。雞的腳數(shù)與頭數(shù)相同，而兔的腳數(shù)是兔的頭數(shù)的2倍，因此從11里減去頭數(shù)8，剩下來的就是兔的頭數(shù)11-8=3只，雞有8-3=5只。金雞獨(dú)立，兔子作揖――想得奇！

5.對(duì)“金雞獨(dú)立，兔子作揖”還有更奇特的解讀：讓每只兔子又長(zhǎng)出一個(gè)頭來，然后將它劈開，變成“一頭兩腳”的兩只“半兔”，半兔與雞都是兩只腳，因而共有22÷2=11只雞兔，11-8=3只，這就是兔子的數(shù)目，（因?yàn)槊恐煌米幼優(yōu)閮芍弧鞍胪谩?，只?shù)增加1只），當(dāng)然雞就有8-3=5只。把兔“劈開”成“半兔”――想得特！

通過對(duì)話交流，老師們對(duì)“雞圖同籠”的解答有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，在分享解讀的過程中，達(dá)到了融會(huì)貫通之目的。

四、建構(gòu)模型，發(fā)揮名題的作用

在積極尋求和充分理解了“雞圖同籠”問題的解法和思路之后，老師們對(duì)這一問題的實(shí)質(zhì)進(jìn)行了提煉。從代數(shù)的角度思考，可以用二元一次方程去解答。同時(shí)作為有趣的算術(shù)題，對(duì)初學(xué)算術(shù)四則應(yīng)用題的學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算技巧很有幫助。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題,或者用解它的典型解法來求解。關(guān)鍵是要找準(zhǔn)變形后的“雞”、“兔”，或者說要認(rèn)清題目中的“怪雞”和“怪兔”。老師們對(duì)常見的一些應(yīng)用題進(jìn)行了分析、歸納。

1. 12張乒乓球臺(tái)上同時(shí)有34人正進(jìn)行乒乓球比賽，正在進(jìn)行單打和雙打比賽的球臺(tái)各有幾張？（雞2腳，兔4腳，共12頭，34腳，問：雞？只，兔？只。）

2. 30枚硬幣,由2分和5分組成,共值9角9分,2分、5分硬幣各有多少枚？（雞2腳，兔5腳，共30頭，99腳，問：雞？只，兔？只。）

3. 小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20個(gè)，雨天每天可以采12個(gè)。6天后共采集蘑菇88個(gè)。求晴天有多少天？雨天呢？（怪雞12腳，怪兔20腳，共8頭，112腳，問：怪雞？只，怪兔？只。）

篇（6）

【案例一】平行四邊形面積推導(dǎo)

師：剛才同學(xué)們想到用數(shù)方格的方法驗(yàn)證平行四邊形的面積，用“底×高”來計(jì)算是對(duì)的。想一想，到底是什么道理呢？

……

師：從你們的眼中，老師看到了困難，老師給你們一個(gè)友情提示：觀察手中的平行四邊形，利用剪刀能不能把它變成一個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形呢？

生：先剪開，再拼成長(zhǎng)方形。

師：很好，同學(xué)們把手中的平行四邊形進(jìn)行剪拼，觀察拼出的長(zhǎng)方形和原來的平行四邊形，你發(fā)現(xiàn)了什么？（生動(dòng)手實(shí)踐）

在平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程中，剪拼的方法發(fā)揮著極其重要的橋梁作用。通過動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)某一數(shù)學(xué)知識(shí)的感覺，當(dāng)這種感覺積累到一定的程度，便形成對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在本案例中，學(xué)生數(shù)方格時(shí)由于在長(zhǎng)方形面積推導(dǎo)時(shí)已有一定的操作經(jīng)驗(yàn)，在驗(yàn)證“底×高”的方法是否正確時(shí)，也就水到渠成了。但在用剪拼法驗(yàn)證時(shí)，就遇到了困難，需要教師層層鋪墊或多方暗示，甚至直接提出。顯然剪拼法不是源于學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，而是“被發(fā)現(xiàn)”的結(jié)果。事實(shí)證明，學(xué)生明顯缺乏剪拼圖形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而這種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)推導(dǎo)多邊形的面積方式又是彌足珍貴的。通過對(duì)教材研讀發(fā)現(xiàn)，四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)”中在練習(xí)里有“剪一剪”的活動(dòng)，學(xué)生為什么沒有這種操作經(jīng)驗(yàn)？我問了班上的學(xué)生：“為什么想不到剪拼的方法？”他們說以前沒有剪拼過。我拿出數(shù)學(xué)書，問他們有沒有做過這道題目，他們說忘了。后來有個(gè)學(xué)生說那時(shí)在書上畫過，但沒有剪過，難怪如此！這里的操作經(jīng)驗(yàn)主要來自于行為的操作，而不是思維的操作，這種操作的直接價(jià)值取向不是問題的解決，而是通過直觀素材、學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，經(jīng)過外置的行為操作，獲得第一手的直接經(jīng)驗(yàn)，這種實(shí)際的外顯操作活動(dòng)主要豐富來自感覺、知覺的經(jīng)驗(yàn)，及對(duì)學(xué)習(xí)材料的感性認(rèn)識(shí)。因而，在教學(xué)“平行四邊形和長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容時(shí)，要重視組織學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，進(jìn)行“分一分，畫一畫，剪一剪，拼一拼”，教師則通過回想、復(fù)述、提問等方法，幫助學(xué)生把這種直接操作的經(jīng)驗(yàn)積累起來，在頭腦中形成動(dòng)態(tài)表象。教學(xué)實(shí)踐表明，操作經(jīng)驗(yàn)的獲得在學(xué)生日后的問題解決活動(dòng)中發(fā)揮著支撐和引導(dǎo)作用。在多邊形面積公式的推導(dǎo)中，絕大部分學(xué)生都能自發(fā)想到和自主運(yùn)用剪拼等方法順利完成公式的推導(dǎo)，正如我們平時(shí)所說的“讓學(xué)生親身經(jīng)歷操作的過程”，就是期望學(xué)生獲得這種操作的經(jīng)驗(yàn)。

二、自主探索――積累探究性經(jīng)驗(yàn)的“催化劑”

【案例二】圓的周長(zhǎng)

在學(xué)習(xí)圓周率時(shí)，利用滾、繞的方法測(cè)量圓的周長(zhǎng)是常用的教學(xué)方式，但在實(shí)際教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)于測(cè)量的操作活動(dòng)漫不經(jīng)心，甚至出現(xiàn)以算代測(cè)的情況。這就使操作活動(dòng)失去了積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的價(jià)值和意義。探究圓周長(zhǎng)的測(cè)量活動(dòng)是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的好素材，是必不可少的環(huán)節(jié)，如何組織才更有價(jià)值？在一次教學(xué)中甩小球時(shí)，我想讓學(xué)生體會(huì)滾、繞法測(cè)量圓周長(zhǎng)的局限性，便隨口說道：“如此看來，直接測(cè)量沒有意義，你們認(rèn)為呢？”引出了以下精彩的對(duì)話。

生：不同意，在測(cè)樹干周長(zhǎng)和圓木桶周長(zhǎng)時(shí)，很方便實(shí)用。

生：直接測(cè)量不可少。但測(cè)量就是為了不測(cè)量。

師：這話是什么意思？請(qǐng)說明理由。

生：通過測(cè)量就可能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這樣以后就不需要這么麻煩地測(cè)量了。

師：怎樣測(cè)量才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？

生：要想發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，就必須大量測(cè)量，測(cè)量要細(xì)心，要盡可能精確。

“測(cè)量就是為了不再測(cè)量?！倍嗑哒芾硌?！這不就是測(cè)量的價(jià)值嗎？測(cè)量實(shí)際是操作的一種具體形式，只有將操作活動(dòng)上升為探究的數(shù)學(xué)活動(dòng)，才能積累具有生長(zhǎng)性的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這里的“探究”指的是立足已有的問題，圍繞問題的解決而開展的活動(dòng)，既有外顯的操作活動(dòng)，也有思維層面的操作活動(dòng)。一是明確活動(dòng)的目的。操作活動(dòng)時(shí)學(xué)生不是擔(dān)任“操作工”，而是應(yīng)讓學(xué)生以研究者的身份來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。二是隱含著操作的要求。要實(shí)現(xiàn)以后的“不操作”，現(xiàn)有的操作必須嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，對(duì)結(jié)果不能想當(dāng)然，對(duì)過程和結(jié)果要進(jìn)行必要的思考，只有這樣，學(xué)生才能積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。三是體現(xiàn)思維操作的結(jié)合。操作和思維密不可分，有思維自覺參與的操作活動(dòng)才是有意義的操作活動(dòng)。學(xué)生在活動(dòng)前、活動(dòng)中、活動(dòng)后都經(jīng)歷著數(shù)學(xué)思考，學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷被激活并結(jié)合，本來有缺陷的經(jīng)驗(yàn)逐漸被修正，粗糙的經(jīng)驗(yàn)漸漸趨于精致，淺層次的經(jīng)驗(yàn)獲得有效提升，從頭開始思考的探究性經(jīng)驗(yàn)會(huì)自然地嵌入學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)里去。于是我重新設(shè)計(jì)圓周率的認(rèn)識(shí)的探究活動(dòng)：

1.借助直覺和經(jīng)驗(yàn)大膽猜測(cè)，得出圓周長(zhǎng)和直徑有關(guān)系。

2.動(dòng)態(tài)展示正方形、內(nèi)接圓、內(nèi)接正六邊形（如下圖），觀察比較：

正方形周長(zhǎng)>圓周長(zhǎng)>正六邊形周長(zhǎng)，探究出4>>3，初步感受兩者之間關(guān)系上下限，總結(jié)出圓周長(zhǎng)是直徑的3倍多。

3.操作探究：應(yīng)用繞、滾方法測(cè)量圓的周長(zhǎng)，到底是3倍多多少呢？反復(fù)測(cè)量、計(jì)算、分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

實(shí)踐證明，這樣的探究活動(dòng)，學(xué)生才能確定自己該從哪里開始，選擇怎樣的學(xué)習(xí)方式抵達(dá)目的，此時(shí)的動(dòng)手操作和實(shí)踐成為學(xué)生探究的需要。由于學(xué)生對(duì)探究的結(jié)果充滿期待，因此在這種探究活動(dòng)中，直接價(jià)值取向是問題解決，融行為操作與思維操作于一體，學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)因個(gè)體的強(qiáng)烈感受而充滿活力。

三、積極思考――積累思考性經(jīng)驗(yàn)的“助推器”

【案例三】雞兔同籠

師：思考一下，從“雞兔同籠”到“龜鶴同游”，再到“人狗同行”，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？

生：雞兔同籠不只是代表著雞兔同籠的問題，它就好像是一個(gè)模型！

出示：自行車和三輪車共10輛，有23個(gè)輪子，自行車和三輪車各幾輛？

師：這個(gè)問題和我們研究的雞兔同籠問題有聯(lián)系嗎？

生：可將自行車換成雞，將三輪車換成3只腳的“怪兔”。

師：同學(xué)們的想象力真是豐富，把兔子給“整成”了3條腿。看來我們的雞兔同籠問題不僅包括4只腳的兔子，還可以是3只腳的怪兔。你能把這道題目改成“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)問題嗎？

生：雞有2只腳，怪兔有3只腳。共10個(gè)頭，23只腳。雞有多少只？怪兔有多少只？

師：看來“雞兔同籠”中的“雞”和“兔”也可以轉(zhuǎn)換成很多腳的“怪雞”和“怪兔”。能聯(lián)系實(shí)際舉個(gè)例子嗎？

學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)的思維過程中積淀的這種經(jīng)驗(yàn)就屬于思考的經(jīng)驗(yàn)，比如歸納的經(jīng)驗(yàn)、建模的經(jīng)驗(yàn)、證明的經(jīng)驗(yàn)等。在解決了雞兔問題后，進(jìn)行質(zhì)疑引思，雞兔同籠有什么獨(dú)特魅力，從而引出“龜鶴問題”“人狗同行”，通過比較使學(xué)生感悟 “雞兔同籠”不僅僅代表雞兔同籠，它還是一種模型。再進(jìn)行強(qiáng)化體驗(yàn)，出示“車輪問題”對(duì)雞兔同籠進(jìn)一步拓展，這個(gè)拓展是從“正常的雞與兔”到“怪雞與怪兔”，讓學(xué)生進(jìn)一步感受“有很多只腳的雞與兔”的雞兔同籠問題模型。結(jié)合具體內(nèi)容提供與數(shù)學(xué)本質(zhì)一樣，層次不同的多樣化數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過梳理和反思，使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累隱性數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。從獲得的經(jīng)驗(yàn)類型來看，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的生成是在思維層面進(jìn)行的，在頭腦中進(jìn)行合情推理，這類活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)相對(duì)前兩種更多的是策略性和方法性的經(jīng)驗(yàn)。從這點(diǎn)上可以看出，思考的經(jīng)驗(yàn)的獲得是派生出思維模式和思想方法的重要渠道，這些成分對(duì)學(xué)生開展創(chuàng)新性活動(dòng)具有十分重要的奠基作用。

四、合作交流――積累綜合性經(jīng)驗(yàn)的“融合劑”

【案例四】設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)

師：根據(jù)設(shè)計(jì)思路，各小組合作討論出運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)同學(xué)們匯報(bào)一下。

生：我們?cè)O(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)中間是長(zhǎng)方形，兩頭是半圓，這樣的形狀占地面積少，跑道的長(zhǎng)度也比較長(zhǎng)。

生：我們?cè)O(shè)計(jì)的一條直線跑道的長(zhǎng)度為60米，一條彎道長(zhǎng)度為40米。

生：根據(jù)設(shè)計(jì)要求，內(nèi)側(cè)跑道長(zhǎng)200米，直線跑道的長(zhǎng)度為50米比較合適，兩條直線跑道一共長(zhǎng)50×2=100（米）。

生：是的，剩下的兩個(gè)半圓合起來是一個(gè)圓，周長(zhǎng)也是100米，半徑就是100÷3.14÷2≈16（米）。

生：我認(rèn)為你們說得不完整，要求設(shè)計(jì)四條跑道，每條寬1米，最內(nèi)側(cè)圓外面還有四個(gè)圓，半徑分別為17米、18米、19米、20米。

篇（7）

知識(shí)與技能：1、通過對(duì)實(shí)際背景的分析，領(lǐng)會(huì)用二元一次方程組的知識(shí)與實(shí)際問題的緊密聯(lián)系。2、會(huì)從復(fù)雜的問題中提煉關(guān)鍵信息，并能找出適當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系，從而正確地建立方程。

過程與方法：1、在問題的解決過程中，實(shí)現(xiàn)從具體問題向數(shù)學(xué)知識(shí)的成功轉(zhuǎn)化，掌握知識(shí)與實(shí)際問題的相互聯(lián)系和解決的方法，學(xué)以致用。2、理解把問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題和知識(shí)在解決問題中的巨大作用。

情感與態(tài)度：1、學(xué)生在感受成功與失敗中吸取經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值和真正之所在，從而堅(jiān)定自己樂學(xué)樂探究的信心。2、通過對(duì)古人著名問題的解決和探究，樹立強(qiáng)烈的民族自豪感和投身于學(xué)習(xí)的信念，感受中華民族是個(gè)優(yōu)秀的民族。

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：審清題意，從實(shí)際問題中找出正確的等量關(guān)系，建立相應(yīng)的方程求解。

難點(diǎn)：理解數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活問題的聯(lián)系，掌握利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的策略。

教材分析：雞兔同籠問題是《孫子算經(jīng)》中一個(gè)較為出名的問題，并且一直流傳至日本，問題的實(shí)質(zhì)包含著一個(gè)非常有用的數(shù)學(xué)知識(shí)，吸引了數(shù)學(xué)愛好者的學(xué)習(xí)興趣。問題以雞兔為實(shí)際背景，從籠中雞兔的頭和腳的數(shù)量能知道雞兔各多少只，初中學(xué)生更是在驚奇中產(chǎn)生了強(qiáng)烈的求知欲望和探究信心，在學(xué)習(xí)和探究的過程中，深深體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際的聯(lián)系，從而進(jìn)一步激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)的向往。

教學(xué)設(shè)計(jì)：

通過講述故事等形式，引導(dǎo)學(xué)生自己探究、互助交流等活動(dòng)形式，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情，明確為祖國(guó)的長(zhǎng)期繁榮而努力，長(zhǎng)大后為社會(huì)主義祖國(guó)建設(shè)添磚加瓦。以“雞兔同籠”問題為背景，滲透方程的思想，認(rèn)識(shí)用方程解決實(shí)際問題的不可估量的作用。

教學(xué)過程：

課前預(yù)習(xí)題：

1、列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟是：(1)-------------- (2) -----------------(3)----------------

(4) ------------------ (5)-------------------

2、某營(yíng)業(yè)員賣出7件襯衫和4條褲子共560元，今天又賣出9件襯衫和6條褲子共680元，若設(shè)每件襯衫售價(jià)x元，每條褲子y元，則可列方程組為------------------------

引言：我們偉大祖國(guó)具有五千年的文明史，在歷史的長(zhǎng)河中，為科學(xué)知識(shí)的創(chuàng)新和發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)，尤其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》等古代名著流傳于世，許多問題淺顯易懂，趣味性強(qiáng)，如《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”等，漂洋過海傳到日本等國(guó)，對(duì)中國(guó)古文明史的傳播起很大的作用。

設(shè)置問題情境，引入課題：

問題1：雞兔同籠問題

雞兔共有17個(gè)頭，50只腳，問有多少只雞？多少只兔？

請(qǐng)思考，以往是怎樣解決這個(gè)問題的？（分組討論）

組1：我們是這樣想的——如果17只都是雞，應(yīng)當(dāng)有34只腳，現(xiàn)有50只腳，比34只多了16只，是因?yàn)橛型?。有一只兔，則多兩只腳，現(xiàn)在多了16只腳，當(dāng)然是有兔8只了。因此知有雞9只，兔8只。

師：小組1的同學(xué)是用了小學(xué)的方法，你們還有其他方法嗎？

組2：設(shè)雞x只，則兔有（17 -x）只，依題意得

2x+4(17 -x)=50

解得x=9 則 17 -x=8

師：小組2是用列一元一次方程來求解的，很好。

組3：我們是這樣別出心裁的——令雞將一只腳抬起，令兔將二前足抬起，則雞、兔頭數(shù)不變，而立在地上的腳卻減少了一半，為25只。因一只雞是一只腳立地，一只兔是兩只腳立地，故知兔數(shù)為25 -17=8，雞數(shù)為9。

組4：設(shè)雞x只，兔y只，則依題意得

x + y =17 x=9

2x +4y =50 解得 y=8

師：小組4是用剛學(xué)過的二元一次方程組來求解的，真是不錯(cuò)。

[評(píng)析：學(xué)生思維活躍，充分交流合作，而且一些別出心裁的想法很風(fēng)趣，它脫胎于小學(xué)的算術(shù)法，很耐人思考分析]

“雉兔同籠”原題：

今有雉(雞)兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

這是有名的“雞兔同籠”問題，怎么解決呢？問題怎么探索？您能根據(jù)上面解決問題的方法來完成嗎？試試您的身手啊。

設(shè)置問題串：

(1)“上有三十五頭”的意思是什么呢？“下有九十四足”又指什么呢？

生：“上有三十五頭”指雞和兔共有35個(gè)頭，“下有九十四足”指雞和兔共有94只腳

(2)題中的等量關(guān)系是什么？您能根據(jù)(1)中的數(shù)量關(guān)系列出方程組嗎？

(3)您能解決這個(gè)有趣的問題嗎？（小組討論，由小組代表板演）

[學(xué)生自己解決完成，老師給出參考答案并給予適當(dāng)點(diǎn)評(píng)]

這個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)方法解決，真正體現(xiàn)了古為今用的原則，使后人理解數(shù)學(xué)的過去和現(xiàn)在，也明確了數(shù)學(xué)在不斷發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中散發(fā)出的璀璨的光芒具有重大意義?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)家陳省生教授在說起“雞兔同籠”時(shí)，另有一番別味風(fēng)趣的解法：

全體雞兔立正，兔子提起前兩只腳，請(qǐng)問[學(xué)生做出回答]

(1)現(xiàn)在共有幾只腳？[70只腳](2)有幾只腳提起了？[24只](3)是誰的腳？[是兔子的前兩只腳](4)那么應(yīng)有幾只兔子？

[24 2=12，有12只兔子] “對(duì)了，很聰明”

[可見對(duì)一個(gè)問題的解決有多種思路，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)及時(shí)總結(jié)解題的各種方法，做到一題多解，多解擇優(yōu)]

我變！我變！我變變變！您還會(huì)做嗎？

一只蜘蛛有8只腳，一只蜻蜓有6只腳。如果蜘蛛和蜻蜓共有76只腳，而且蜘蛛比蜻蜓多，那么蜘蛛和蜻蜓各有多少只？

（小組討論，看哪小組解決了）答案：蜘蛛8只，蜻蜓2只。

問題2：以繩測(cè)井。若將繩三折測(cè)之，繩多五尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺。繩長(zhǎng)、井深各幾何？

問題串分析：(1)“三折、五折”是什么意思？題目大意是什么？(2)題目里的未知條件有哪些，等量關(guān)系是什么呢？(3)您能列出適當(dāng)?shù)姆匠探M并解決嗎？

解：設(shè)繩子長(zhǎng)x尺，井深 y尺，則

- y=5 x=48

- y=1 解得 y=11

答：繩子長(zhǎng)48尺，井深 11尺。

議一議：

從上面問題的解決中，您得到了什么體會(huì)，有什么收獲？在小組里交流。

（1）在我國(guó)悠久的歷史中，數(shù)學(xué)在古代曾文明于世界，作為炎黃子孫應(yīng)感到驕傲，也激發(fā)我們?yōu)樽鎳?guó)的日益強(qiáng)大而努力學(xué)習(xí)。

（2）用方程組解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)該

a 認(rèn)真讀題和審題分析，弄清古代問題的現(xiàn)今意義

b 正確設(shè)出未知數(shù)（注意單位）

c 找出相等關(guān)系，并列出方程組。（注意單位要統(tǒng)一）

d 解方程組

e 檢驗(yàn)寫答（注意單位）

練一練：您真的掌握了嗎？

列方程組解古算題：

1、今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五，直金八兩。牛、羊各直金幾何？

2、今有甲、乙二人持錢數(shù)不知其數(shù)。甲得乙半而錢五十，乙得甲半而亦錢五十。甲、乙持錢各幾何？

問題3：(探究創(chuàng)新樂園) 您能幫幫小亮嗎？

小亮的外婆送來滿滿一籃雞蛋，這只籃子最多能裝55只左右的雞蛋，小亮3只一數(shù)，結(jié)果剩下1只，但忘了數(shù)了多少次，只好重?cái)?shù)，他5只一數(shù)剩下2只，可忘了數(shù)了多少次，他準(zhǔn)備再數(shù)時(shí)，媽媽笑著說：“不用數(shù)了，共有52只”。小亮驚訝地問媽媽是怎么知道的，媽媽笑而未答，讓小亮好好動(dòng)腦筋想想。您能幫幫小亮嗎？

（后來小亮運(yùn)用方程知識(shí)解決了這個(gè)問題，您知道小亮是怎樣解決的嗎？）

解：設(shè)此籃子最多能放雞蛋m只，每3只一數(shù)，數(shù)了x次剩1，每5只一數(shù)，數(shù)了y次剩2，則有 3x+1=m

5y+2=m 得 3x+1=5y+2，得 y=

因?yàn)閤，y都是正整數(shù)，所以3x-1 必定是5 的倍數(shù)，又因?yàn)?x+1是55 左右的數(shù)，所以3x-1應(yīng)該是53 左右的數(shù)。

當(dāng)3x-1=50 時(shí)， x=17 ， y=10 ， m=3x+1=52 ，符合題意

當(dāng)3x-1=55時(shí)， x=18 ，不符合題意

所以m只能是52

答：這只籃子雞蛋共52只。

（您認(rèn)為小亮解的對(duì)嗎？您有哪些啟發(fā)？）

點(diǎn)撥：經(jīng)過本課的探索，您有什么收獲和體會(huì)？（小組討論總結(jié)發(fā)言）

生1：知道了數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科，我們的祖先能用淺顯的數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問題，說明他們勤勞而聰明……

生2：掌握列方程組解古代數(shù)學(xué)問題時(shí)的一般步驟和方法。

生3：要像我們的祖先那樣，在飛速發(fā)展的今天，認(rèn)真學(xué)好本領(lǐng)，為今后學(xué)習(xí)、工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，將來建設(shè)好祖國(guó)。

師：同學(xué)們總結(jié)得很好，要想學(xué)好本領(lǐng)，就要扎扎實(shí)實(shí)地把現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)好，俗話說“學(xué)無止境”，有關(guān)列方程組解應(yīng)用題的問題還很多，我們下節(jié)課接著再研究。

讀一讀：數(shù)學(xué)生活實(shí)踐（洗衣粉里的數(shù)學(xué)問題，衣服洗滌后如何漂洗等）

……(寫在提綱上供學(xué)生閱讀)

小小數(shù)學(xué)沙龍：<猜猜看 > 有多少只小雞

農(nóng)夫瓊斯對(duì)他老婆說：“喂，瑪麗亞，如果照我的辦法，賣掉75只小雞，那么咱們的雞飼料還能維持20天，然而，假使照你的建議，再買進(jìn)100只小雞的話，那么雞飼料將只夠維持15天。”

“啊，親愛的”她答道，“那我們現(xiàn)在有多少只小雞呢？”

問題就在這里了，他們究竟有多少只小雞？

作業(yè)設(shè)計(jì)：習(xí)題7.4 1、2 <讀一讀、猜猜看>預(yù)習(xí)下節(jié)

篇（8）

最近幾年以來，小學(xué)數(shù)學(xué)教育在教材編排、課程設(shè)置、教法探究上都有較大的改革，教師為主導(dǎo)，學(xué)生被動(dòng)接受的格局正逐步被打破。教師開始關(guān)注學(xué)生的特點(diǎn)及喜好，通過精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到教學(xué)環(huán)節(jié)中，構(gòu)建“雙主體”教學(xué)。所謂“雙主體”教學(xué)就是：教學(xué)中教師與學(xué)生都是課堂的主體，教授過程中教師處于主導(dǎo)地位，學(xué)習(xí)過程中學(xué)生處于主體地位，是一種互為主體的教學(xué)，也是一種雙向互動(dòng)的教學(xué)，使師生的主體作用得到最大限度的發(fā)揮。

我采用了參悟式在課堂上創(chuàng)設(shè)特定情境，設(shè)法讓學(xué)生沉浸其間，通過學(xué)生自己的探究，會(huì)以題悟道，升華出知識(shí)要點(diǎn)，形成智慧，參悟強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)主體的主動(dòng)參與性，不同于以往學(xué)生被動(dòng)地聽老師講解，而主要依靠老師沒拋出的知識(shí)要點(diǎn)，設(shè)定向問題情境，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在主動(dòng)探究方面形成生生互動(dòng)，師生互動(dòng)，并從中獲得知識(shí)的全面掌握。

一、課堂案例

（一）課堂知識(shí)內(nèi)容

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)補(bǔ)充內(nèi)容《雞兔同籠》。

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學(xué)問題的趣味性。

2.嘗試用列表、假設(shè)的方法解決“雞兔同籠”問題，使學(xué)生體會(huì)列表、假設(shè)的一般性。

3.在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的遷移思維能力，質(zhì)疑能力表達(dá)能力。

（三）教學(xué)重難點(diǎn)

1.理解掌握解決問題的不同思路和方法。

2.學(xué)會(huì)用不同的方法解決實(shí)際生活中有關(guān)“雞兔同籠”的 問題。

（四）教學(xué)過程

1.課件出示雞兔同籠圖（沒有任何數(shù)據(jù)）。

教師提問：把雞和兔放在一起，你會(huì)思考哪些數(shù)學(xué)問題？

學(xué)生提問：雞有多少只？兔有多少只？雞和兔一共多少只？雞和兔誰多誰少？雞有多少只腳？兔有多少只腳？雞和兔一共有多少只腳？

教回答：從上面數(shù)一共12個(gè)頭，從下面數(shù)一共有32條腿。

教師提問：從老師的回答你知道了哪些數(shù)學(xué)信息？

學(xué)生回答：雞和兔一共有12只。雞和兔的腳一共有32只。

教師提問：請(qǐng)思考同學(xué)們剛才提出的兩個(gè)問題：雞和兔各多少只？

2.請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立思考能完成的做在練習(xí)本上。

3.學(xué)生小組交流自己的想法。

4.學(xué)生展示自己的想法。

5.學(xué)生看書學(xué)習(xí)列表法。

學(xué)生分小組交流討論完成學(xué)習(xí)并在生活中找出相似數(shù)學(xué)問題討論、解決。

二、課后反思

從教學(xué)的過程來看，互為主體是本課教學(xué)的前提，教師和學(xué)生是互動(dòng)的主體，但它不是一般的主體。教師和學(xué)生均不是獨(dú)立地出現(xiàn)在互動(dòng)中的存在物，而是共同參與，由老師提問引起學(xué)生提問思考，學(xué)生提問又分為：生生提問及基本知識(shí)掌握：生師提問及知識(shí)拓展掌握，過去單一的“師本”或“生本”的教學(xué)理念是不符合教學(xué)規(guī)律、脫離實(shí)際的理論，教與學(xué)的過程是兩個(gè)主體之間精神交往過程，共同提升的過程，互動(dòng)是以差異性為基礎(chǔ)，以承認(rèn)兩個(gè)主體為前提，以自由、平等為條件，以積極主動(dòng)參與為關(guān)鍵的師生交往的過程，通過知識(shí)的媒介師生實(shí)現(xiàn)了“雙主體的雙重契合”，教師和學(xué)生都是具體主體性的能動(dòng)主體。課堂上要給學(xué)生自由探究的時(shí)間和空間，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想質(zhì)疑，去創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生從“敢問”到“善問”，讓學(xué)生在質(zhì)疑、解疑的過程中培養(yǎng)探究能力。如教學(xué)“認(rèn)識(shí)厘米 用厘米量”時(shí)，教師讓學(xué)生用尺子去量一支鉛筆的長(zhǎng)度，要求將鉛筆的一端與尺子的零刻度對(duì)齊，另一端指到幾，這支鉛筆的長(zhǎng)度就是幾厘米。這時(shí)，一個(gè)學(xué)生問：“老師，在測(cè)量物體長(zhǎng)度的時(shí)候，一定要把物體的一端與刻度尺的零刻度對(duì)齊嗎？”教師并沒有馬上回答，而是對(duì)這名學(xué)生提出的這個(gè)問題給予表揚(yáng)鼓勵(lì)，然后說：“如果你們手中的尺子是一把折斷的沒有零刻度的尺子，你們分組研究看看，能否量出鉛筆的長(zhǎng)度？”此時(shí)，學(xué)生的探究興趣非常高，積極地參與探究活動(dòng)。通過討論，他們發(fā)現(xiàn)這把斷了的沒有零刻度的尺子同樣也能測(cè)量出鉛筆的長(zhǎng)度。這個(gè)問題的解決，相信一定會(huì)在學(xué)生的頭腦中留下深深的烙印。

篇（9）

一、研究學(xué)生，讀懂孩子

在第一項(xiàng)“讀懂孩子”里，作者說“‘研究學(xué)生，讀懂學(xué)生’是落實(shí)學(xué)生主體地位的基本保證和基礎(chǔ)，不僅對(duì)學(xué)生的發(fā)展有幫助，對(duì)于教師的成長(zhǎng)也大有裨益”。這一觀點(diǎn)我極為認(rèn)同！翻閱兩年來的教育隨筆，我發(fā)現(xiàn)隨筆的內(nèi)容逐漸由記錄自己的教育失誤與精彩到記錄學(xué)生的精彩，再到怎樣研究學(xué)生的學(xué)情，研究學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生問題的根源及對(duì)策。應(yīng)該說，我的教學(xué)記錄已由研究教師自己轉(zhuǎn)向了研究學(xué)生。看到作者的這段話后，我隨即產(chǎn)生了一種思維上的共鳴，這種教育隨筆的記錄方式其實(shí)是教育研究的一種“由表及里”的必然狀態(tài)，是教師專業(yè)成長(zhǎng)的重要路徑之一。

雖然讀過很多教育案例，但從“讀懂孩子”里，我那些已不太敏感的神經(jīng)仍能被一些課堂細(xì)節(jié)所觸動(dòng)。在“是你的觀點(diǎn)，還是敘述別人的觀點(diǎn)？”的語言指引下，孩子自然會(huì)說“我的觀點(diǎn)是……”孩子語言表達(dá)能力的提升，對(duì)他們獨(dú)立觀點(diǎn)的保護(hù)與中肯評(píng)價(jià)，不僅僅要在語文課堂上得到培養(yǎng)，還應(yīng)在其它學(xué)科的課堂上得到應(yīng)有的鍛煉，這需要每個(gè)科目教師的教育自覺和自知——即知道孩子各方面的能力可以通過教師語言的適當(dāng)引導(dǎo)得到提高，便自覺地在備課、授課的過程中對(duì)孩子進(jìn)行引導(dǎo)。

我所知道的主題教育活動(dòng)，大多是請(qǐng)個(gè)專家給學(xué)生做報(bào)告。而作者給孩子們請(qǐng)來的是畢業(yè)于他們廈門小學(xué)，已經(jīng)成為大學(xué)生的學(xué)哥學(xué)姐們，報(bào)告內(nèi)容也跟孩子們的學(xué)習(xí)生活息息相關(guān)。年齡的微小差距，不僅讓孩子們樂于接受學(xué)哥學(xué)姐們的觀點(diǎn)，而且在互動(dòng)的過程中，孩子們也能根據(jù)實(shí)際情況提出自己想要了解的問題。從“讀懂孩子”的角度出發(fā)，舉辦這樣的活動(dòng)才能真正地觸動(dòng)孩子們，收到預(yù)期的教育效果。

二、理論支撐，實(shí)踐研究

小學(xué)數(shù)學(xué)教育的真諦是什么？“小學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是既‘有營(yíng)養(yǎng)’又‘好吃’的美餐”，我為這一觀點(diǎn)叫好，但作者并不滿足這一答案，而是在教育實(shí)踐中不斷追問，使答案離她更近。在“理解數(shù)學(xué)”這一項(xiàng)修煉中，有一段作者與孔凡哲教授的對(duì)話?？追舱芙淌谡f：“一線教師要做‘頂天立地’的研究?！表斕欤褪且邢冗M(jìn)的教育理論支撐；立地，則是研究要從實(shí)踐中來，要能真正解決教育教學(xué)中的問題。而作者在自己的教學(xué)中做的就是“頂天立地”的研究。

在案例“雞兔同籠”的教學(xué)實(shí)踐與思考中，作者課前研究了不同版本的教材，掌握了對(duì)“雞兔同籠”這節(jié)課的編排意圖后，開始進(jìn)行自己的教學(xué)實(shí)踐。這節(jié)課的可貴之處在于作者對(duì)學(xué)生先進(jìn)行了前測(cè)，在了解了學(xué)生習(xí)慣用哪些方法解題后，讓學(xué)生在自學(xué)中思考三個(gè)問題：（1）課本在解答問題時(shí)用的是什么方法？（2）課本中三個(gè)表格在解題思路上有什么不同？（3）你還能想出與課本中不同的方法嗎？一般情況下，未曾認(rèn)真研讀教材的教師會(huì)停在滿足于學(xué)生會(huì)解“雞兔同籠”問題的層面，而不會(huì)深入到對(duì)這一問題多種解法的探索層面，更不會(huì)在意學(xué)生在解決這一問題的過程中積累屬于自己的解題經(jīng)驗(yàn)和能力。而作者所提的這三個(gè)問題，足可以證明她對(duì)新課標(biāo)“四基”“四能”的深刻解讀，并能在教學(xué)實(shí)踐中靈活駕馭教材的能力。這三個(gè)問題，不是以事實(shí)為基礎(chǔ)的問題（如書中的定義），而是以思維為基礎(chǔ)的問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，以思維為基礎(chǔ)的問題對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力有不可預(yù)知的力量。從作者描述案例后的“意外”中，我們可以看到這種看似耗費(fèi)時(shí)間的教學(xué)方法，讓倒數(shù)第一的“差生”也有了將“路程問題”類比為“雞兔同籠”的問題模型并成功解決的能力。

肯在課堂上花時(shí)間讓學(xué)生培育屬于自己的解題思維，從專業(yè)角度來說，作者的前兩個(gè)問題能鍛煉學(xué)生的分析性思維，第三個(gè)問題能鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造性思維。目前，我們教師的職責(zé)已經(jīng)是越來越少地向?qū)W生傳授知識(shí)，而是越來越多地激勵(lì)學(xué)生思考。作為數(shù)學(xué)教師，作者做到了讀懂教材，真正擁有了“頂天立地”的研究姿態(tài)。

善于思考的人必是善于研究的人，對(duì)于一次作業(yè)設(shè)計(jì)作者也是“費(fèi)盡心機(jī)”。課本中的小資料，在教學(xué)進(jìn)度的擠迫下，往往僅是可看可不看的內(nèi)容，而這在作者的眼里卻成了一次教育的良好契機(jī)。于是就有了這樣一道作業(yè)：（1）請(qǐng)計(jì)算你家現(xiàn)在的恩格爾系數(shù)。（2）訪問你的家長(zhǎng)，計(jì)算他們小時(shí)候的恩格爾系數(shù)。（3）比較兩個(gè)數(shù)據(jù)，寫出自己的想法。從學(xué)生的作業(yè)反饋中，我們看到了這樣的作業(yè)設(shè)計(jì)真正落實(shí)了三維目標(biāo)。從知識(shí)技能角度來說，學(xué)生計(jì)算恩格爾系數(shù)時(shí)用到了百分?jǐn)?shù)的知識(shí)；從過程與方法角度來說，學(xué)生經(jīng)歷了搜集數(shù)據(jù)、篩選整理數(shù)據(jù)的過程；從培養(yǎng)情感、態(tài)度、價(jià)值觀角度來說，作業(yè)很好地拓展了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。學(xué)生懂得珍惜現(xiàn)在的生活，懂得感恩父母給予他們的一切，起到了潤(rùn)物無聲的教育效果。筆者認(rèn)為只要有研究之心，無論是教學(xué)設(shè)計(jì)還是看似雞肋的作業(yè)設(shè)計(jì)都能提高學(xué)生的能力。

三、學(xué)習(xí)交流，勤于寫作

篇（10）

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2017）06-0106-02

DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.06.065

小學(xué)階段是學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣養(yǎng)成和學(xué)科學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的奠基階段，這是學(xué)生以后學(xué)習(xí)的積累時(shí)期，因此，必須要重視小學(xué)各學(xué)科教學(xué)。而小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科是小學(xué)體系中非常重要的學(xué)科，也被稱為核心學(xué)科。在新頒布的小學(xué)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》教學(xué)的要求由“雙基”目標(biāo)擴(kuò)展為“四基”，新增加的內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的基本思想和基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。其中對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)觀念的提出是符合當(dāng)前素質(zhì)教育要求和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的基本要求的。

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科是一門具有抽象性和嚴(yán)密的邏輯性的特點(diǎn)，這對(duì)于學(xué)生思維能力的要求是比較高的。而小學(xué)階段是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的啟示階段，因?yàn)槟挲g的限制和學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備的限制使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中難免會(huì)遇到思維上的困難，需要針對(duì)這個(gè)問題采取相應(yīng)的舉措。從另外一個(gè)角度來說，新課程下的課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)要充分地發(fā)揮學(xué)生的主體地位，要讓學(xué)生參與到課堂教學(xué)流程中來。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中積累學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就能夠較好地解決上述的兩個(gè)方面的問題，因?yàn)閺膶W(xué)生認(rèn)知事物的過程來看，是需要由感性認(rèn)識(shí)逐漸上升到理性認(rèn)識(shí)的，這樣學(xué)生的認(rèn)知才是深刻的。同時(shí)，在此過程中，能夠主動(dòng)地通過眼、耳、鼻、舌等感官直接接觸客觀外界，不斷地嘗試而獲得新知識(shí)，這樣也有利于充分發(fā)揮學(xué)生們的主體地位。那么，應(yīng)該怎樣在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中積累學(xué)生基本活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

一、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察

觀察既是一種習(xí)慣也是一種能力，通過學(xué)生直觀的觀察和發(fā)現(xiàn)，很容易實(shí)現(xiàn)學(xué)生由具體到抽象、由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣和數(shù)學(xué)素養(yǎng)是非常有幫助的，因此，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中學(xué)會(huì)觀察。

例如，在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體和立方體這部分知識(shí)時(shí)，這一年齡段的學(xué)生空間概念是較為欠缺的，如何在學(xué)生腦海中呈現(xiàn)長(zhǎng)方體和特殊的長(zhǎng)方體――立方體的形象就可以通過引導(dǎo)學(xué)生們觀察來實(shí)現(xiàn)。教師可以首先給學(xué)生呈現(xiàn)關(guān)于長(zhǎng)方體、立方體的模型，讓學(xué)生觀察它的面、棱、頂點(diǎn)等特征，再來尋找其長(zhǎng)、寬、高，然后再讓學(xué)生總結(jié)特征并且嘗試說明立方體和長(zhǎng)方體之間的關(guān)系。整個(gè)過程中，學(xué)生在直觀地觀察，這樣降低了理解的難度，感受到了數(shù)學(xué)的魅力，最后得出結(jié)論，收獲了一定的知識(shí)。整個(gè)過程中學(xué)生增長(zhǎng)了經(jīng)驗(yàn)也發(fā)揮了主體地位。

二、鼓勵(lì)學(xué)生敢于動(dòng)手

從數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展歷程來看，它是古代勞動(dòng)人民在解決實(shí)際生活中的問題中逐漸發(fā)展起來的。因此，通過引導(dǎo)學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)的過程中的動(dòng)手實(shí)踐，也能夠促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

例如，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形面積的計(jì)算這部分內(nèi)容時(shí)，我們往往采取的是從長(zhǎng)方形的面積計(jì)算的過程中來得出平行四邊形的計(jì)算公式，這時(shí)，就可以采用學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的方式來讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算公式。在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)完長(zhǎng)方形的計(jì)算公式后，教師給學(xué)生提供平行四邊形的硬紙片，讓學(xué)生們自己探索怎樣把平行四邊形轉(zhuǎn)換成長(zhǎng)方形，學(xué)生在用切割法進(jìn)行操作的過程中得出結(jié)論，即任意一個(gè)平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積和原來的平行四邊形的面積相等，它的長(zhǎng)、寬分別和原來的平行四邊形的底、高相等，這樣我們就能夠得出平行四邊形的面積計(jì)算公式是底×高。

事實(shí)證明：在這樣的實(shí)踐過程中，學(xué)生真正體會(huì)到了解決問題應(yīng)該從哪里開始、應(yīng)該選擇怎樣的方法，這樣動(dòng)手操作就成為探究問題的必然需求，學(xué)生在好奇之中去感受新知識(shí)，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)比給學(xué)生一個(gè)公式要有意義得多，同時(shí)，學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)因個(gè)體的強(qiáng)烈感受而充滿活力。

三、引導(dǎo)學(xué)生積極思考

思考是深化知識(shí)理解最有效的手段和舉措，因此，引導(dǎo)學(xué)生們梳理和反思知識(shí)，能夠使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累隱性數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。從獲得的經(jīng)驗(yàn)類型來看，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的生成是在思維層面進(jìn)行的，在頭腦中進(jìn)行合情推理，這類活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)相對(duì)前兩種更多的是策略性和方法性的經(jīng)驗(yàn)。從這點(diǎn)上可以看出，思考經(jīng)驗(yàn)的獲得是派生出思維模式和思想方法的重要渠道，這些成分對(duì)學(xué)生開展創(chuàng)新性活動(dòng)具有十分重要的奠基作用。

例如，在計(jì)算問題上最常見的雞兔同籠的問題，以及由此衍生出來的龜鶴同游的問題，學(xué)生在思維過程中積淀的這種經(jīng)驗(yàn)就屬于思考的經(jīng)驗(yàn)，比如歸納的經(jīng)驗(yàn)、建模的經(jīng)驗(yàn)、證明的經(jīng)驗(yàn)等。在解決了雞兔問題后，進(jìn)行質(zhì)疑引思，雞兔同籠有什么獨(dú)特魅力，從而引出“龜鶴問題”“人狗同行”，通過比較使學(xué)生感悟 “雞兔同籠”不僅僅代表雞兔同籠，它還是一種模型，這樣學(xué)生們的思維能力就得到了鍛煉和提升。

總之，在強(qiáng)調(diào)素質(zhì)教育的今天，必須要本著以學(xué)生為中心的原則來落實(shí)素質(zhì)教育的要求，鼓勵(lì)學(xué)生活動(dòng)的參與以及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，這樣才能夠?yàn)閷W(xué)生未來的學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）.北京：人民教育出版社，2010.